5.5 用二次函数解决问题教案设计（一等奖）

中考数学专题复习

——细品带参二次函数问题

【问题探究】

【问题1】在平面直角坐标系中，

抛物线y = mx2

− 2mx + m

− 2（m≠0）的顶点为P，与x轴交于A、B两点（点A在点B的

左侧），与y轴负半轴交于点C．

连接PC并延长交x轴于点D．若PC∶CD = 4∶5，

求：抛物线的解析式．

1

2

【问题2】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+6mx＋n（m＞0）与

x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，抛物线与y轴交于点D，直线BC交y轴于E，

S△ABC ：S△AEC = 2∶3．

（1）求点A的坐标；

（2）将△ACO绕点C顺时针旋转一定角度后，点A与B重合，此时点O恰好也在y轴上，求抛物线的解析式．

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【变式训练】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线

y＝mx2－2mx＋n（m＜0）的顶点为A，

与

x 轴交于B，C 两点（点B 在点C 左侧），与y 轴正半轴交于点D，连接

AD 并延长

交x 轴于E，连AC、DC．S△DEC∶S△AEC＝3∶4．

（1）求点E 的坐标；

（2）△AEC 能否为直角三角形？若能，求出此时抛物线的函数解析式；若不能，请说明理由．

【中考链接】如图，直线x=﹣4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=﹣4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，

且AD：BD=1：3．

（1）求点A的坐标；

（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．

4

26.（1）设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，由S△DEC∶S△AEC＝3∶4得OE∶OF=3，（2分）由题意得抛物线的对称轴为直线x =1，∴OE=3，∴E（—3，0）（4分）（2）由题意得顶点A的坐标为（1，），，由∠EAC=90°得，=4×2，（8分）∴(负舍) （9分）∴(x-1)2+

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27．解：（1）得出A(－5，0)．……………………………（本步骤4分）

（2）当A(－5，0)时，得出m＝6（本步骤5分）

4y

623656．……（本步骤1分）

xx424

27．（1）∵y＝ax2＋2ax＋c＝a(x＋1)2＋c－a，∴它的对称轴为x＝－1．…………………（1分）

又∵DE∶EF∶FB＝1∶1∶2，且DM∥HE∥OF，

∴B（2，0），且D点的的横坐标为－2．………………………………………………（2分）

由此可得D(－2，c)．又∵点C(0，c)，∴D、C关于x＝－1对称．故∠DCF＝90°．（3分）

从而可证△DCF≌△BOF．∴OF＝CF，即点F为OC的中点．……………………（4分）

（2）∵△OBE的面积为2，B（2，0），∴E（－1，－2）．…………………………（5分）

48

由此可得F（0，－3），C（0，－3）．…………………………………………………（6分）

818

把B（2，0）、C（0，－3）代入y＝ax2＋2ax＋c可得a＝3，c＝－3．

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∴y＝3x2＋3x－3．………………………………………………………………………（7分）

（3）以DF为直径的圆能够恰好经过点P．

c3由（1）可得F（0，2），E(－1，4c)，D（－2，c)，∴DE＝

要使以DF为直径的圆恰好经过点P，有EP＝DE＝c(4)2＋1．

c(4)2＋1，…………………（8分）

331

∵E(－1，4c)，P(－1，c－a)，∴EP＝4c－(c－a)＝a－4c．

1

∴a－4c＝c(4)2＋1．…………………………………………………………………（9分）

5

另一方面，由B（2，0）可得8a＋c＝0，即c＝－8a，把它代入上式可得a＝5．

52585

∴y＝5x2＋5x－5．……………………………………………………………（10分）

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