三元一次方程组的解法2教案和课堂实录

*8.4 三元一次方程组的解法(二)

教学目标

1．使学生熟练地掌握用消元法解简单的三元一次方程组的一般方法；

2．通过对问题的一题多解，培养学生观察、分析问题及灵活地解题的能力；

3．进一步理解消元法解方程组时体现的化归意识．

教学重点和难点

重点：灵活地用代入法或加减法解三元一次方程组．

难点：正确地选择消元的方法．

课堂教学过程设计

一、导入：从学生原有的认知结构提出问题

不解方程组，指出下列方程组中先消去哪个未知数，使得求解方程组较为简便？(投影)

结合学生的回答情况，教师指出，第1题由②×2+③×7，消去z，得到方程④，由④与①组成关于x、y的二元一次方程组；第2题由①-②消去y，得方程④，④与③组成关于x、z的二元一次方程组，或由①-③消去x，得方程④，④与②组成关于y、z的二元一次方程组，或由②-③消z，得方程④，④与①组成关于x，y的二元一次方程组．

教师进一步追问：对上述方程组是否还有简便方法求解呢？先由学生思考回答，然后教师补充小结：通过观察方程组的构成特点，发现第1题方程①、③中x与y的系数对应相等，因此可由③-①消去x与y项，求出z值，再将z值代入②得方程④，④与①组成关于x，y的二元一次方程组．第2题由①+②+③，得

x+y+z=30， ④

再由④-①，④-②，④-③分别求出x，y，z．

二、讲授新课

本节课，我们继续来学习三元一次方程组的解法．

例1

解方程组

分析时，引导学生观察方程组中每一个方程的构成情况，并提出以下问题：

1．每个方程是否有缺项？

2．怎样通过消元，使“三元”转化为“二元”？用代入法解行吗？

(由于方程组中每个方程中的有些未知数的系数绝对值不是1，因此将某一方程变形用代入法解较繁，用加减法解较好)

3．用加减法解消哪个未知数求解较为简捷呢？

(用加减法解，应选择消去系数绝对值的最小公倍数最小的未知数)

解：①+③，得

5x+5y=25．

④

②+③×2，得

5x+7y=31．

⑤

由④与⑤组成方程组

把x=2，y=3代入①，得

3×2+2×3+z=13，

所以 z=1．

此时，结合上述例题的解答过程，教师应再次提出问题：

1．先消未知数x或y可以吗？比较上述三种不同的消元选择，哪种消元选择更好呢？

例2

解方程组

将④，⑤分别代入①，得

所以 y=45．

把y=45分别代入④、⑤，得

x=30，y=36．

本题也可作以下分析：

y∶x=3∶2，即x∶y=2∶3=10∶15，而y∶z=5∶4=15∶12，故有x∶y∶z=10∶15 ∶12．因此，可设x=10k，y=15k，z=12k．将它们一起代入①中求出k值，从而求出x、y、z值．

解法二：由②，得x∶y=2∶3，

即 x∶y=10∶15．

由③，得 y∶z=5∶4，

即 y∶z=15∶12．

所以 x∶y∶z=10∶15∶12．

设，x=10k，y=15k，z=12k，代入①中得 10k+15k+12k=111，

所以 k=3．

故 x=30，y=45，z=36．

例3（创新题）

方法一：

由2分之x+y=3分之y+z,得

3x+y-2z=0 (1) 2分之x+y=4分之z+x,得

x+2y-z=0 (2) 又因为2x+4y+6z=120,得

x+2y+3z=60 (3) 联合（1）,（2）,（3）,组成一个三元一次方程组,使用加减消元法,解之,得

x=9,y=3,z=15

方法二：

原则上，三个未知数，三个等式，除非无解，否则应该是没有问题的：

令(x+y)/2=(y+z)/3=(z+x)/4=t，则有：

x+y=2t ......（1）

y+z=3t ......（2）

z+x=4t ......（3）

2x+4y+6z=120 ......(4)

（1）+（3）-（2）得：2x=3t ......(5) （1）+（2）-（3）得：2y=t ......(6) （2）+（3）-（1）得：2z=5t ......(7) 将（5）、（6）、（7）代入（4）得：3t+2t+15t=120，t = 6 x = 3t/2 = 9 y = t/2 = 3 z = 5t/2 = 15

变式练习：

（仿照例3，采用你认为简单的方法小组合作完成，教师点拨）

三、课堂练习

A．先消去x； B．先消去y；

C．先消去z； D．以上说法都不对．

3．解下列方程组：

四、师生共同小结

在师生共同回顾本节课所学内容的基础上，教师指出，一般地，用消元法解三元一次方程组，要先观察方程组中未知数的系数情况，然后再决定是用代入法还是用加减法来解．对于方程组中方程间系数成比例，或具有一定联系的特殊情况，可采取观察、分析，巧解的程序来求解．

五、作业

解下列方程组：