三元一次方程组的解法2教学设计实例

课 题：*8.4 三元一次方程组的解法

授课教师：重庆市天宝实验学校

刘湘

一、教材分析

前面学生已学习二元一次方程组的概念、解法和应用.在学习这些知识的过程中，学生可以感受到二元一次方程组和上学期所学一元一次方程都能作为一种工具来应用于实际问题的解决，也能深刻的体会解二元一次方程组中的“消元”思想.本节在此基础上，拓展学生的视野，通过类比研究的方式引入三元一次方程组，让学生进一步体会“消元”思想，掌握三元一次方程组的求解，为认识利用三元一次方程组这一数学模型解决问题打下基础. 二、学情分析

学生总体情况比较均衡，上课认真，虽然思维不是很活跃，但有较好的理解能力和基础.在上课前，学生已较熟练的掌握二元一次方程组的概念、解法和应用，对用方程（组）解决问题的建模思想有初步的认识.

三、教学目标

1．知识与技能：

（1）了解三元一次方程组的概念; （2）会用“代入消元法”或“加减消元法”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决; （3）能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法. 2．过程与方法：

（1）在学习二元一次方程组的基础上，通过类比引入三元一次方程组的概念、解法、应用. （2）让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”“加减”消元的方法

（3）教会学生面对三元一次方程组时，选择适当的解法，以提高运算的效率

3．情感态度与价值观：

（1）让学生感受把新知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法. （2）让学生认识解方程组的基本思想就是“消元”.无论是解二元一次方程组、还是三元一次方程组，基本策略都是化多为少、逐一解决，具体措施都是“代入”或“加减”，以实现“消元”，转化为一元一次方程，从而得解. 四、教学重点、难点

根据以上分析，我将本节课的教学重点确定为：三元一次方程组的解法及“消元”思想. 教学难点确定为：根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元

五、教学方法和手段

现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者，教学的

1

一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特点，本节课我采用启发引导式、讨论式及讲练结合的教学方法，以提出问题、解决问题为主线，倡导学生主动参与、独立思考、积极交流，在教师的指导下发现、分析、解决问题，给学生足够的思考时间，让学生去联想、类比、探索并及时的反思，从真正意义上完成对知识的自我建构.另外，在教学中我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率. 六、教学过程

1.为下列方程组找出合适的消元方法（课前作业，平板数据分析）

（1）

y

x

＋

6

①

（2）

＝

2x＋3y＝－19

①

x＋5y＝1

②

5x－5y＝7

①

15x＋20y＝7

②

2x＋3y＝8

②

2x＋5y＝12

①

2x＋3y＝6

②

（3）

（4）

学生活动设计：学生在课前利用平板上完成答题. 教师活动设计：教师根据智慧课堂后台的数据分析，对学生是解二元一次方程组时能否选择合适的方法予以评价，对存在的问题进行纠正.

一、复习旧知，引入新课

师：上新课之前，我们先来复习一下前面学习的二元一次方程组：

问题1：举例说明什么是二元一次方程组？

生：如xy10a2b5，.含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，2xy16a3b3并且一共有两个整式方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．

问题2：解二元一次方程组的基本方法有哪几种？它们的实质是什么？

生：基本方法：代入消元法和加减消元法.

实质：消元

师：大家来看屏幕上的这个题目，一起思考一下怎么解？

xy5方程组一：

3x2y2（1）

（2）生1：可以将（1）式变形为y5x，再代入到（2）式，转化为一元一次方程x83x2(5x)2，解出. y13

2

生2：也可以(2)(1)2，转化为一元一次方程x8，解出x8. y13两位学生分别用来代入法和加减消元法来解这道题目，但其实思想都是一样的，就是把二元一次方程组通过消元的方法转化为一元一次方程来解，即：

二元一次方程组 消元 一元一次方程

学生活动设计：在草稿纸上独立完成解答.（拍照，上传）

教师活动设计：请两位学生进行用不同方法解此题，复习二元一次方程的概念和解法.

二、概念引入，揭示研究主题

师：下面我们在方程组一中加入一个方程，得方程组二

（1）xy5（2）方程组二：3x2y2

2x-2yz-3（3）我们发现在方程组二中多了一个未知数z，那么我们可以怎么称呼方程组二呢？

生：可以称它为三元一次方程组，因为这个方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的系数都是一次. 师：这就是我们今天要研究的主要内容—— *8.4 三元一次方程组的解法（板书标题，投影定义）

学生活动设计：翻开书本朗读三元一次方程组的概念，关注概念中的三个要点. 教师活动设计：引出本节课的要解决的问题——8.4 三元一次方程组的解法

教师点明：三元一次方程组概念：（1）方程组中有且只有三个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1；（3）方程组中有三个整式方程.三者缺一不可. 类似二元一次方程组的解的概念，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.

练习：下列方程组中，不是三元一次方程组的是（ ）

x2-40xy1x23x4z7A．

2yz-2 B. y1x C. 2y3 D. 2x3yz9

2y-3x2z15x9y7z8x3y2z6

三、类比学习，探索解法

师：下面我们的主要任务就是学习如何去解三元一次方程组，先来看方程组二，根据它和方程组一的联系，大家知道如何去求解它的解吗？

（1）xy5（2）初步尝试：解方程组二：3x2y2

2x-2yz-3（3）

3

学生活动设计：独立思考，独立完成，并电脑随机抽人回答问题. 生：由（1）和（2）组成的二元一次方程组，我们已经解出x8x8，只需将代y13y13x8入（3），即可得z39，综上这个三元一次方程组的解是y13. z39教师活动设计：教师引导学生对比方程组一和方程组二的异同点，快速解决方程组二，体验“消元”思想，把三元转化为二元. 师：这个三元一次方程组非常特殊，其中方程(1)(2)恰好可构成一个二元一次方程组.那如果碰到一个方程组里没有包含二元一次方程组，怎么办？（由此启发学生在解三元一次方程组时，需要去“找出”隐藏在其中的二元一次方程组，为“消元”打下伏笔.）

变式推进：

师：我们把方程组二再来变一变：

（1）xy5例1：解方程组三：3x2yz2（2）. 2x-2yz-3（3）师：在这个方程组中就没有一个现成的二元一次方程组了.那有没有办法“转化出”一个二元一次方程组呢？

生：因为方程（1）是只含有x和y的一个二元一次方程，所以可以将（2）和（3）中的未知数z消去，也变成一个只含有x和y的一个二元一次方程（4），这样方程（1）和（4）就可以组成一个二元一次方程组了.

教师活动设计：教师板书，规范解题格式. 解：由（2）（3），得x4y5(4)

由（1）和（4）可组成一个新的二元一次方程组

xy5x4y5(1)

(4)由（4）—（1），得3y0，解得y0,

把y0代入（1），解得x5,

把x5，y0代入（2），得3520z2,解得z13

x5所以原方程组的解是y0. z13学生活动设计：学生独立思考，体验三元一次方程组的解题思路和方法技巧，和老师一起板书，规范书写格式.

4

师：通过例1，类比解二元一次方程组的思想方法，我们可以得到解三元一次方程组的思想方法：

三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程

（引出“消元”的思想）

师生小结：我们要解决一个在已有知识，已有能力基础上生成的更复杂的问题，要想到能否将其在“化归”回我们已知的问题，化繁为简，化未知为已知.在解方程组中，我们用的“化归”方法是“消元”，我们以后也会在其他问题上遇到更多的诸如此类的“化归”思想方法，同学们要善于从中积累.

深入推进：

师：我们把方程组三再来变一变：

（1）xyz5例2：解方程组四：3x2yz2（2）. 2x-2yz-3（3）师：这个方程组又该如何用消元法转化为二元一次方程组呢？大家观察这个方程组中各个未知数的系数，看看消哪个元最方便？

生：因为z前面的系数分别是-1,1,1，所以消z这个未知数最方便. 师：我们一起解……

解：由（1）（2），得4x3y7由（2）（3），得x4y5(4)

(5)

（4）和（5）可组成一个新的二元一次方程组

4x3y7x4y5(4)

(5)由（5）4—（4），得13y13，解得y1,

把y1代入（5），解得x1,

把x1，y1代入（1），解得z3

x1所以原方程组的解是y1. z3师：还有没有别的消元方法？

解法2：由(2)(3)，得5x2z1由(1)2(3)，得4xz7(4)，

(5)

由（4）和（5）可组成一个新的二元一次方程组

5

5x2z14xz7(4)……

(5)(4)

(5)

解法3：由(1)2(3)，得4y3z13由(1)3(2)，得y4z18由（4）和（5）可组成一个新的二元一次方程组

4y3z13y4z18(4)……

(5)师：通过例2，我们发现在解三元一次方程组的过程中，关键就是如何选择消元的对象和消元的方法，同学们要善于观察系数的特点，选择较简单的消元方法，掌握技巧（强化“消元”的方法）

四、巩固练习，形成能力

3x4z7(1)“小试牛刀”：解三元一次方程组2xyz9

xy2z1①

②

③

设计意图：本题是在课本例1的基础上，改变系数所得，因为本题的意图是让学生模仿老师的做法自行操作的第一题，所以尽量让各项系数简单一些，让学生练习感觉愉悦一些. 预测学生做法：用加减消元由②③式消去y，转化为关于x、z的二元一次方程组的求解

教师活动设计：观察学生练习的过程，展示学生的求解过程

2y60.(2) 在等式yaxbxc中，当x1时，y0；当x2时，y3；当x5时，求a、b、c的值. 设计意图：由课本例题引出三个方程均含有三个未知数的三元一次方程组，和学生一起探求出解决的整体思路.然后让学生自行求解，使其进一步理解三元一次方程组的求解方法，培养计算能力. 教师提问：依题意可得什么？

abc0预测学生做法：得出方程组4a2bc3

25a5bc60①

②

③

教师活动设计：引导学生观察方程组的特点，此方程组与前面不一样，三个方程都不缺“谁”，消谁好，用什么方法消？

预测学生做法：消c，因为系数相同，用加减消元，要消两次，由①②式消去c，再由②③式消去c，转化为关于a、b的二元一次方程组

教师活动设计：提问用①③式消c行不行？

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预测学生做法：可以用①③式消c.在老师的引导下体会两个未知数一般需要两个方程才能求解，消两次目的就是得到关于a、b的二元一次方程组，选择①②或②③或①③中的其中两个消就可以实现. 教师活动设计：在前面例题和练习的基础上，对本课解过的三个方程组进行比较，谈谈解决的方法.总结求解三元一次方程组的整体思路——消元，实现三元——二元——一元的转化.在消元过程中，消“谁”都行，用哪种消法（代入法、加减法）也都可以，但如果选择合适，可提高计算的效率. 具体做法是：①如果已有某个未知数的表达式，直接用代入消元，否则常用加减消元.②用加减消元时，如果方程组中有至少一个方程只有两个未知数，缺哪个未知数就消哪个.③用加减消元时，如果方程组中三个方程均含有三个未知数，通常要进行两次消元才能转化为二元一次方程组. 2x4y3z3(3) 解三元一次方程组3x2y5z2. xyz1

五、总结拓展，方法提升

(1)、三元一次方程组的概念

(2)、三元一次方程组的基本思想是什么？用的什么方法？

三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程

注意选好要消的“元”，选好要消的“法”. (3)、通过本堂课的学***家在今后的学习生活中遇到新的问题，有什么样的启示？

六、课后作业，巩固所学

教材106页习题8.4第1（2）、2（2）、5题．

七、板书设计

标题：三元一次方程组的解法

课件

投影区

小结方法区

教师示范例题板演区

学生展示板演区

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