*5 一元二次方程的根与系数的关系公开课教案

教学设计

2.5一元二次方程的根与系数的关系

南郑区阳春初级中学

杜汉菊

教材分析：

本节课是北师大版九年级数学上册第二单元的第五节内容。它是在前面学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后进行的。教材先通过做一做来解三个具体的一元二次方程，探究每个方程的两根之和、两根之积与的系数的关系，并用求根公式进行验证得出一般性的结论，继而用这个结论来解决例题和随堂练习。它深化了根与系数的关系，是我们今后继续研究一元二方程根的情况的主要工具，可以用来解决一元二次方程快速验根的问题，还可以解决其他一些相关的简单问题，是方程理论的重要组成部分。

学情分析：

九年级学生已学过了一元二次方程的解法，从用公式法解一元二次方程到学习根的判别式，学生已感知到了根与系数的一些关系，再加之九年级学生已具备了初步的观察、发现、归纳总结、验证的能力，自主探究两根和、两根积与系数的特殊关系应该是能行的，但对这个关系的验证、理解、应用，部分同学任然存在困惑，所以在教学过程中相对多的留一些时间和空间让学生进行自主探究、同伴交流，积累活动体验，将利于学生更加深入得理解根与系数的关系。

教学目标：

1. 掌握一元二次方程根与系数的关系并会初步应用. 2．经历探索一元二次方程根与系数关系的过程，体验观察、发现、猜想、验证的思维转化过程，提高学生观察、猜想、归纳的能力。

3.通过观察、分析使学生体会由特殊到一般，再由一般到特殊的基本数学思想方法，获取成功的体验，培养学生独立思考，与同伴合作交流的能力。

重点和难点：

重点：一元二次方程两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系及应用； 难点：从具体方程中发现、概括归纳出一元二次方程根与系数的关系. 教学方法：自主探究、合作交流、归纳概括

教具准备：多媒体课件

教学过程：

一、创设情境引入新课

1．请说出解一元二次方程的求根公式. 2．通过前面的学习，我们已经知道一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式。

1

除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？

二、自主探究，归纳总结

1、解下列方程，将得到的解填入下面的表格中。

（

学生在练习本上解表中左列的方程。）

方程

x1

x2

x1x2

x1x2

x2＋3x－4＝0 2x2-9x-5=0 7x2－5x＝0 师让学生说出上述方程的解，并填入表格中

2、你发现表格中两个根的和与积同原来方程的系数有什么关系？与同伴交流

（给学生充分的时间让其先观察，再与同伴交流；结束后师询问交流结果，在黑板上一一写出观察到的结论。）

方程

x1

1 5 x2

-4 x1x2

-3 x1x2

-4 x2＋3x－4＝0 2x-9x-5=0 7x－5x＝0 221

212

5

25

70

bc x1x2=

aa57

0 3、师生共同总结可以得到: x1+x2=-4、对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？与同伴交流。

师生共同验证：

我们知道，一元二次方程

ax2bxc0(a0),b24ac0的两根为

bb24acbb24acx1,x22a2a于是，两根之和为

bb24acbb24ac2bbx1x22a2a2aa

两根之积为

bb24acbb24acx1x22a2a2

(b)2(b24ac)2 4a222 bb4acca4a25、归纳总结：

axbxc0(a0),有两个实数根x1,x2, 如果一元二次方程 那么

x1+x2=-2bc x1x2=

aa师讲解一元二方程根与系数的这个关系最早是由法国数学家韦达发现并提出的，因此这个关系又叫韦达定理。

三、例题讲解实践应用

例：不解方程，利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积。

(1) 2x2-3x-2=0 (2) 2x(x+1)=7 师引导分析：先判断方程是否有解，再利用根与系数的关系求两根和与两根积。

解：（1）∵a=2,b=-3,c=-2 ∴b2-4ac =(-3)2-4×2×(-2)=25>0 ∴x1+x2=-b3c= x1x2==-1 a2a （2）整理得：2x2+2x-7=0 ∵a=2,b=2,c=-7 ∴b2-4ac=22-4×2×(-7)=60>0 ∴x1+x2=-bc7=1 x1x2==

aa2 小结方法：1、先把方程化为一般形式；

2、判断方程是否有实数根；

3、若有实数根，再求出两根和与两根积。

四、课堂练习

1 不解方程，利用根与系数的关系求方程两根的和与两根的积：

(1)x-3x-1=0; (2)3x+2x-5=0 2、

小明和小华分别求出了方程9x+6x-1=0的根。

小明：

x1x222213

小华：

x1332,x2332 他们的答案正确吗？说说你的判断方法。

3

22xx70的一个根是3，求它的另一个根。

3、已知方程 3

五、全课小结：一元二次方程根与系数的关系是什么？

（如果一元二次方程 ax2bxc0(a0),有两个实数根x1,x2, 那么

x1+x2=-bc x1x2=）

aa六、作业：课本51页1、2、3题。

设计意图：

1、创设情境时，本节课由求根公式点明方程的根与系数存在一定的关系，除此之外还存在其他关系吗？既给了学生方向又提出了问题，激发学生对新知的渴求，同时为后面用求根公式验证做了一个伏笔。

2、自主探究，归纳总结是本节课的重点。要让学生经历观察—发现—概括—归纳—猜想—验证—总结的过程，并从这个过程中获得新知，积累数学活动体验，提高能力。所以从学生熟悉的解一元二次方程入手，引导他们自主探究根与系数的关系，让学生感知到新知识是由旧知识“长”出来的，学生易于同化。其中从具体方程中观察发现根与系数的关系是教学的难点，在这里通过解方程、计算两根和积，再比对方程的系数，从而发现规律，接着与同伴交流再次印证发现的结论，这个过程充分放手，给学生充足的时间和空间来进行探究，这是一个感性认识，师最后再和同学一起验证总结得出本节课的新知上升到理性认识，同时把由特殊到一般的数学思想方法潜移默化的渗透进去。这样，学生认知的体验才最强，也才能深层次的理解根与系数的关系。

3、讲解例题是对刚才学习的新知的一个应用。本节课设计的应用较为简单，旨在明了利用根与系数求方程两根和与积的前提是方程必须有两个实数根。师引导后规范板书，给学生一个解答的范本，规范学生数学语言的表述。

4、随堂练习的设计是由浅入深，具有一定的阶梯性。第一题是关系的最基本应用模仿例题，第二题是不解方程用根与系数的方法检查方程解得是否正确，第三题是已知方程的一个根，用根与系数的关系求另一个根。这三道题层层推进来提升学生知识的应用能力。

5、最后是全课小结和作业布置，目的是帮助所有学生进行回顾总结，形成知识体系，培养学生及时小结，善于归纳的学习习惯，而课后作业是对本节课知识的再一次进行强化。

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