建立一元二次方程解决几何问题第二课时教案

6 应用一元二次方程

第1课时

利用一元二次方程解决几何问题

【知识与技能】

使学生会用一元二次方程解应用题. 【过程与方法】

进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生运用数学的意识. 【情感态度】

通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性. 【教学重点】

实际问题中的等量关系如何找. 【教学难点】

根据等量关系设未知数列方程.

一、情境导入，初步认识

列方程解应用题的步骤是什么？

①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答. 【教学说明】

初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决.但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用. 二、思考探究，获取新知

问题：有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）

分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）

尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论. 解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程为（6+2x）(3+2x)=2×6×3.整理方程，得2x2+9x-9=0.解得x1≈0.84，x2≈-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺. 【教学说明】

注意引导学生分析、理清题目中的数量关系，挖掘已知条件与要解决问题，激发学生解决问题的欲望，体会数形结合思想的应用. 三、运用新知，深化理解

1.见教材P52例1. 2.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（

B ）

A.37

B.5

C.38

D.7 3.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为64cm2. 4.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽.

解：设花边的宽为x m，依题意有（6+2x）（3+2x）=40，

解得x1=1，x2=112（不合题意应舍去）. 即花边的宽度为1m. 5.如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.

（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；

（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？

（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由. 分析:如图，若设BC = x m，则AB的长为35x2

m，若设AB = x m，则BC=(35-2x)m，再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a = 18m意味着BC边长应小于或等于18m，从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论. 解（:1）设BC=xm，则AB=CD=35x2m，依题意可列方程为x·35x2=150，

解这个方程，得x1=20，x2=15. 当BC=x=20m时，AB=CD=7.5m，当BC=15m时，AB=CD=10m.即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m; （2）当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m; （3）不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC = x m，由（1）知AB=35x2m，从而有x·35x2=160，方程整理为x2-35x+320=0.此时Δ=352-4×1×320=1225-1280＜0，原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场. 6.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.

（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？

（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？

分析：（1）如果P，Q同时出发，x s后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为题意值；

（2）△ABC的面积的一半等于1212×2x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合×12AC·BC=12（cm2），令×2x（6-x）21=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在. 解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2.由题意得AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，则12·（6-x）·2x=8.整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4.所以P，Q同时出发2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2. （2）由题意，得S△ABC=AC·BC=2112×6×8=24（cm2），令×2x×（6-x）21

12=×24，x2-6x+12=0，b2-4ac=62-4×12=-12<0，该方程无实数解，所以不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻. 四、师生互动、课堂小结

1.回顾、整理并总结，让学生在活动中积累实践经验，理解建立数学模型的重要性. 2.独立完成以上例题.

1.布置作业：教材“习题2.9”中第2、3、4题. 2.完成练习册中相应练习.

本课时无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己的机会，在此过程中发现并总结学生存在的思维误区，便于今后的教学.课堂上注意激发学生的学习热情，帮助学生形成积极主动的求知态度.