5.4 二次函数与一元二次方程教学设计(第二课时)

5.4 二次函数与一元二次方程（1）(教案) 教学目标：

1.

会把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的问题转化为相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的相关问题；

2.

能根据二次函数图象与x轴的位置关系判断相应的一元二次方程的根的情况，能根据一元二次方程的根的情况判断相应的二次函数图象与x轴的公共点的个数.

教学重点：

了解一元二次方程根的几何意义；理解抛物线与x轴的位置关系与一元二次方程根的情况之间的对应关系。

教学难点：

了解一元二次方程根的几何意义；理解抛物线与x轴的位置关系与一元二次方程根的情况之间的对应关系。

教学过程：

情境引入：

1. 利用初二学过的求一次函数y＝2x＋4与x轴的交点情况来回顾函数与x轴交点会出现的概念

得如下结论：（1）与x轴的交点的特征是:纵坐标为0；

（2）函数值指的是y,它是点的纵坐标；

（3）求函数与x轴的交点就是令y等于0.

结合一次函数与一元一次方程的关系来讨论二次函数与方程的关系。

2.

（1）求抛物线y＝x2－2x－3与x

轴的交点（学生独立完成）

（2）若图像上有一点纵坐标为5，求点的坐标该如何列式？

（3）若图像上有一点纵坐标为﹣4呢？为﹣5呢？

通过计算发现有的可以算出两个解，有的有一个解，有的则没有。

我们知道一次函数与x

轴一定有一个交点，那二次函数是不是也一定有交点呢？

学生自主动手操作，发现一共有三种情况：没有交点，有一个交点，有两个交点。

那如何用代数的方式来解决这个问题呢？

学生答：因为抛物线与x轴的交点，就是令y等于0，所以就转化成一元二次方程求解的过程，又因为一元二次方程的解得情况一共有三种：（1）当Δ＞0时，有两个解即抛物线与x轴有两个交点；（2）当Δ＝0时，有两个相等的解即抛物线与x轴有一个交点；（3）当Δ＜0时，方程无解即抛物线与x轴没有交点。

3.

例题讲解：

例1（1）一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根为－1，3 ，那么抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标是

．

例1（2）抛物线y＝x2－2x －

3与x轴交点坐标为(－

1，0),(3，0),那么方程x2 －2

x

－

3＝0的根为

．

【设计意图】抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根之间的联系．

例2（1）抛物线

y＝－

x2＋6x＋1与x轴的公共点有

个，

y＝2x2

－

3x＋4与x轴的公共点有

个，

y＝x2＋2x＋1与x轴的公共点有

个．

例2（2）已知抛物线y＝﹣x2＋x＋2m

(m为常数）. ①

m为何值时，抛物线与x轴有唯一公共点？

②

m为何值时，抛物线与x轴没有公共点？

③

m为何值时，抛物线与x轴有公共点？

【设计意图】抛物线与x轴的交点个数的判断与一元二次方程判别式之间的联系．

例3：已知抛物线

y＝x2－3x－4 (1) 求抛物线与x轴，y轴的交点坐标. (2) 求抛物线与x轴两交点之间的距离. (3) 当x为何值

时，y﹥0，y=0，y﹤0？

讨论：如果

y



ax

2



bx



c(a＜0)的图象与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0),你能否讨论当x为何值

时,y＝0呢? y＞0呢? y＜0呢?

【设计意图】利用二次函数的图象研究一元二次方程根的问题，要选择二次函数和相应的直线，会看图象，会根据图象确定自变量的取值．

例4：已知抛物线

y=x2－4x－5第一象限上有一点A(a，7). (1)

求

a的值；

(2)

若B在抛物线上且满足AB∥x轴,求点B的坐标；

(3)

在(2)的条件下，点C在抛物线上且满足

S△ABC＝4,求点C的坐标。

【设计意图】利用二次函数的图象研究一元二次方程根的问题，要选择二次函数和相应的直线，会看图象，会根据图象确定自变量的取值；给学生综合能力的提升。

交流小结：1. 抛物线与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根；2.

抛物线与x轴的交点，就是令y等于0，所以就转化成一元二次方程求解的过程，又因为一元二次方程的解得情况一共有三种：（1）当Δ＞0时，有两个解即抛物线与x轴有两个交点；（2）当Δ＝0时，有两个相等的解即抛物线与x轴有一个交点；（3）当Δ＜0时，方程无解

即抛物线与x轴没有交点；3.

利用二次函数的图象研究一元二次方程根的问题，要选择二次函数和相应的直线，会看图象，会根据图象确定自变量的取值．

课后作业：完成《课课练》

课后反思：需要让学生多思考总结出问题的结论，多给学生发展的空间才能对知识的掌握更到位，对与例题的讲解也可以尝试让学生分析出来，锻炼学生的积极发言能力，从而对学习更有兴趣。

5.4

二次函数与一元二次方程（学案）

例题讲解：

例1（1）一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根为－1，3 ，那么抛物线

y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标是

．

例1（2）抛物线y＝x2－2x －

3与x轴交点坐标为(－

1，0),(3，0),那么方程x2 －2

x

－

3＝0的根为

．

例2（1）抛物线

y＝－

x2＋6x＋1与x轴的公共点有

个，

y＝2x2

－

3x＋4与x轴的公共点有

个，

y＝x2＋2x＋1与x轴的公共点有

个．

例2（2）已知抛物线y＝﹣x2＋x＋2m

(m为常数）. ①

m为何值时，抛物线与x轴有唯一公共点？

②

m为何值时，抛物线与x轴没有公共点？

③

m为何值时，抛物线与x轴有公共点？

例3：已知抛物线

y＝x2－3x－4 (1) 求抛物线与x轴，y轴的交点坐标. (2) 求抛物线与x轴两交点之间的距离. (3) 当x为何值

时，y﹥0，y=0，y﹤0？

讨论：如果

y



ax

2



bx



c(a＜0)的图象与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0),你能否讨论当x为何值

时,y＝0呢? y＞0呢? y＜0呢?

例4：已知抛物线

y=x2－4x－5第一象限上有一点A(a，7). (1)

求

a的值；

(2)

若B在抛物线上且满足AB∥x轴,求点B的坐标；

(3)

在(2)的条件下，点C在抛物线上且满足

S△ABC＝4,求点C的坐标。

交流小结

课后作业：完成《课课练》