“两角相等”国家优质课一等奖

6.4.2探索三角形相似的条件

教学内容：苏科版

义务教育课程标准实验教科书

九年级（下册）第六章“图形的相似”第四节“探索三角形相似的条件”（第二课时）

1．课程标准相关要求

将观察、动手操作等实践活动让学生充分经历判定两个三角形相似条件的过程，并能运用三角形相似的条件解决简单的问题；培养学生从图形的角度提出问题、分析问题的能力。

2．教材分析

本章主要研究三角形相似的判定、性质及应用.在初二，学生已经研究过三角形全等的判定与性质。而全等是相似的特殊情况，所以，研究相似三角形比研究全等三角形更具有一般性。本节是在学习了相似图形及相似三角形的概念的基础上，开始探索三角形相似的条件，它既是前面知识的延伸和全等三角形的拓展，又是今后证明线段成比例、学习三角函数、圆的有关性质的重要工具；同时，物理上学习力学、光学等，也需要用到相似三角形的有关知识；此外，还有着重要的实际意义（如：测量绘图、土木建筑）。因此，这节课有着承前启后的重要地位。

3．学情分析

在学习本节内容之前，由于学生已经掌握了相似三角形的定义，并初步经历了由全等到相似的认识过程，而本节内容正与全等的有关知识是类似且紧密联系的，初步体会了类比方法在数学学习中的作用；通过平时的观察和了解发现：经过两年的学习，九年级学生思维较活跃，有着较强的自我意识，对观察、猜想、探索性的问题充满好奇，并且大部分学生已经养成了一定的数学学习习惯，有一定的自主探究、合作交流的学习意识，表达能力和概括能力有所提高。但由于学生年龄特征，对几何图形的识别能力不强，当两个相似三角形有重叠部分时，初学时对辨别它们的对应边和对应角有一定的困难，因此如何找准相1

等的两组对应角是一个难点。

课程标准目标分解

行为表现

核心概念

行为动词

行为条件

表现

程度

准确地

准确地

正确地

准确地

准确地

学生前备经验

有

对应角

相似三角形

两角对应相等

判定条件

基本图形

技能

教学目标

直角三角形（母子型）

总结、技能

识别

在具体的问题中识别

找出

在具体的问题中

有

经历

在通过具体的操作中

有

理解、运用

归纳并说出

利用前备知识

有

通过小组讨论

有

1.

探索三角形相似的条件（两角），并运用定理学会解决有关问题；

2.

会选择适当的条件判断两个三角形相似；

3.

经历“猜想—验证—推广—说理—应用”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力。

教学重难点：

重点：运用“两角相等的两个三角形相似”来解决有关问题；

难点：三角形相似的条件的说理。

教学过程：

【回顾导入】

2

问题：判定相似三角形有哪些方法？ 【设计意图】通过提问，使学生对所学知识加以回顾，并为新课的讲授作好准备。

【新知探究】

评价要点：通过动手操作，经历三角形相似条件的探索过程。

1.如图，已知∠α，∠β.作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β.这样的三角形可以作多少个？它们都相似吗？

2.如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.你可以用上节课的知识来说明这两个三角形相似吗？

操作方法:1.平移(同课本) 2. 在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D 作DE//BC，交AC于点E，则△ADE∽△ABC, ∠ADE=∠B.

∵∠B=∠B’,

∴∠ADE=∠B’.

又∵∠A=∠A’,AD=A’B’，

∴△ADE≌△A'B'C’.

∴△A'B'C'∽△ABC.

【设计意图】通过学生的动手操作，相互交流探讨，培养合情推理能力，运用观察、归纳、测量等手段，让学生感觉到结论即将产生，让学生自己发现“两角对应相等的两个三角形相似”，这样引入本节课内容也比较自然. 3．观察分析，得出结论

3

让学生讨论交流，用自己的语言概括总结。

引出判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

几何语言：在△ABC与△B″C″中，

∵∠A＝∠A″，∠B＝∠B″，

∴△A″B″C″∽△ABC 【设计意图】通过这样的设计，体现了“学习不是为了‘占有’别人的知识，而是为了‘生长’自己的知识”这种现代教育观.建立让学生积极参与、主动探索的课堂教学模式，使知识的形成过程化为学生观察、发现、探索、运用的过程，充分体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想。

【尝试运用】

评价要点：初步感知两角对应相等的两三角形相似

1. 有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似吗？

2.顶角相等的两个等腰三角形是否相似？

3.一个角是70 °的两个等腰三角形都相似？

4．所有的等边三角形都相似吗？

【设计意图】让学生初步感知相似三角形的判定条件的运用。

【交流展示】

评价要点：巩固两角对应相等，两三角形相似的判定条件。

1.如图，在△ABC和△DEF中，已知∠A=50°，∠B=∠E=55°，∠F=75°，△ABC与△DEF相似吗？为什么？

评价要点：灵活运用三角形的判定条件来解决问题，初步了解相似是说明三角形边关系的一种重要方法。

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2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°,CD是∠ACB的平分线.那么△ABC与△CBD相似吗？为什么？

课堂变式：点D是AB的黄金分割点吗？若是，请说明。

【设计意图】学会运用三角形相似的条件，来解决问题，并通过变式训练，来初步感知三角形相似是证明边成比例的一种重要方法。

3.如图，E是□ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于点F，找出图中所有的相似三角形，并说明理由.

4.如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高。

（1）△ACD和△CBD都和△ABC相似吗？证明你的结论．

（2）图中有几对相似三角形？

拓展：若点E是AC的中点，ED的延长线交CB的延长线于F，那么△FDB与△FCD相似吗？为什么？

5

【设计意图】通过变式训练，让学生熟悉了相似三角形中的常见图形，让学会分析问题、解决问题。

【课堂总结】两角相等的两个三角形相似。

板书设计：

§6.4探索三角形相似的条件（2）

判定相似的方法：

1.

由平行想相似

2.

判定定理一: 两角相等的三角形相似。

符号语言：……

交流展示板书

教学反思：

本节课先通过学生自己动手操作去猜想“两个角相等的三角形相似”，然后再从理论上去证明自己的猜想。关于结论的证明，课本给出的是相应的合情推理，通过平移将两个三角形联系在一起，再借助于“平行于三角形一边的直线与原三角形相似”来说明结论的正确性。学生比较容易理解，但是学生最好自己动手剪两个三角形纸片，会理解的更透彻。我在处理这个环节的时候，采用的是严格的逻辑推理，通过在较大三角形中构造出一个三角形与较小的三角形全等(需要证明)，最终证明出结论的正确性。这样处理虽然对学生的要求比较高，但是为下节课的探索做了充分的准备。本节课课本的例题是有一定难度的，所以在处理的时候我给学生增加了一个台阶，增设了一个问题，降低了题目的难度，学生接受起来相对容易一些，所以效果还可以。在练习相关题目时，学生还是能比较熟练使用判定定理一，因为找两对角等还是比较容易的。这节课唯一的遗憾是在选题时，考虑还不够充分，不小心把后面课时的一道例题拿过来练习了。以后再选题时，还有多下功夫。

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