三元一次方程组的解法2名师课堂实录

*3.5

三元一次方程组及其解法

第2课时

三元一次方程组及其解法(2)

教学目标

【知识与技能】

经历代入消元法解三元一次方程组的探索过程,掌握代入消元法并会解三元一次方程组.

【过程与方法】

经历用代入法求解三元一次方程组的探索过程,使学生深入体会消元化归的思想方法.

【情感、态度与价值观】

通过一题多种解法的探讨,感受数学的方法美.

教学重难点

【重点】通过与二元一次方程组类比,使学生学会用代入法解三元一次方程组.

【难点】如何消元,消去哪一个未知数.

教学过程

一、复习旧知,引入新课

我们已经学习了代入、加减两种消元的方法解二元一次方程组,通过与二元一次方程组类比学会了加减消元法解三元一次方程组.今天,我们将类比二元一次方程组的代入消元法解三元一次方程组.

二、例题讲解

【例1】

解方程组:

师:如果用代入消元法解该方程组时,消去哪一个未知数较方便?为什么?

生:从题目看,消去x、y、z都可以,因为③中含未知数x、y、z的项的系数的绝对值均为1.

【答案】

由③,得z=x+y-3.④

将④代入①,并整理,得x+3y=-1.

师:将④代入①的目的是什么?

生:把①中的z用x+y-3来代替,达到消去未知数z的目的.将④代入②,并整理,得4x+y=7.⑥

师:为什么将④代入②?

生:把②中的z用x+y-3代替,可以消去未知数z.解由⑤、⑥联立而成的二元一次方程组,得x=2,y=-1.把x=2,y=-1代入④,得z=-2.所以

师:为什么不将④代入③呢?

生:④是由③变形而得到的,④和③实质上是同一个方程.

师:从上面的解题过程可以发现,用代入消元法解三元一次方程组的主要步骤是什么?

生:首先是从某一个方程中确定一个未知数作为替换的对象,然后将这个未知数分别代入另外两个方程,得到消去这个未知数的二元一次方程组.

【例2】

解方程组:

分析

本题中①、②是以比的形式给出了两个未知数的关系,学生觉得有些陌生,此时要引导学生回顾小学所学习的比例性质对①、②进行变形.

原方程组可以化为

师:消去什么未知数较好?

生:由⑥,得x=66-y-z,再代入④,消去x;也可由⑥得z=66-x-y,再代入⑤,消去z.

【答案】

由⑥得x=66-y-z,把x=66-y-z代入④并整理,得5y+2z=132.⑦由⑤、⑦组成的方程组,得y=20,z=16.把y=20,z=16代入③,得x=30.所以

师:上面的方程组,能不能由①、②中x、y、z之间比的关系而得到另外的解法?

生:……

师:由于x∶y=3∶2,y∶z=5∶4,所以x∶y∶z=15∶10∶8,设每一份为a,得x=15a,y=10a,z=8a.把x、y、z的值分别代入x+y+z=66,得15a+10a+8a=66,a=2.所以

比较上述两种方法,第二种解法比第一种解法要简便,引起学生注意,今后在解方程组时一定要结合方程组的特征,选择较合适的解法.

三、组织练习,提高解题技能

解方程组.1.

【答案】

(1)

2.

练习指导:方程组2中的第一个方程可以转化为两个方程=与=.

方程2也可以引导学生用下面的方法求解:

设===m,则x+y=2m,z+x=3m,y+z=4m,把上面三个等式相加,得2(x+y+z)=9m.因为x+y+z=27,所以2×27=9m,得m=6,所以x+y=12,x+z=18,y+z=24,又x+y+z=27,所以

四、课堂小结

本节课主要学习了用代入法解三元一次方程组,解题过程中要根据方程的特征选择合适的未知数作为消元的对象,对于特殊的三元一次方程组有时候也可以选择较特殊的解题方法求解.总而言之,解方程组时解法的选用上要显示出一定的灵活性.