1.3 曲线的极坐标方程国家获奖教案

向量数量积的物理背景与定义

一、教学内容分析

从教材体来看，平面向量的数量积是继向量定义、向量的线性运算之后的又一重要概念和运算，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的模型抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质及其应用。因而数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。由于数量积的性质在证垂直、求长度、求角中经常用到，因而数量积的性质是本节课的又一教学重点。

二、学生情况分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了力的分解、矢量、功等物理知识，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点很难接受；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，因而本节课教学的难点是数量积定义及性质的理解和应用。

三、教学目标分析

1、知识与技能目标：

（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义

（2）知道平面向量的数量积与向量投影的关系

（3）掌握平面向量数量积的重要性质，了解用平面向量的数量积的初步应用

2、过程与方法目标：

（1）通过向量数量积物理背景的了解，体会物理学和数学的关系

（2）通过功的实际模型抽象出定义，通过具体问题总结性质，渗透由特殊到一般的思维方法

3、情感、态度与价值观目标：

通过探究性学习，让学生尝试数学研究的过程，培养学生探究问题、归纳概括的能力

四、教学方法分析

1、制作高效实用的多媒体课件，主要作用是通过模型以问题引领学生探究。

2、设计科学合理的板书，一方面使学生加深对主要知识的印象，另一方面使学生清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络。

五、教学过程设计

(一)创设问题情景

问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

问题2:在物理课中，我们学过功的概念：即一个物体在力F的作用下产生位移s，那么如图

F

θ

力F所做的功：WsFcos， s 设计意图：

问题1在于使学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算

问题2在于使学生了解数量积的物理背景，为抽象数量积的概念做好铺垫。

(二)探究问题，形成定义

（1）探究向量夹角问题

问题3：表示一个什么角？

（学生易答）表示力F的方向与位移s的方向的夹角．

问题4：你能指出下列图中两向量的夹角吗？

①②③学生容易得到，④学生可能会出现两种答案，教师给予指导

问题5：对于两个非零向量a，b，你能给出它们夹角的定义吗？

学生思考回答，教师予以补充，关键是点出两向量起点相同，并给出夹角符号（板书一）

问题6：思考向量夹角的范围

有了问题4的铺垫，学生容易得出0π，教师强调同向时为0，反向时为π

教师补充：（1）当=时，向量a与向量b互相垂直，记作a⊥b 2 （2）在讨论垂直问题时规定：零向量与任一向量垂直

（2）探究向量b在a方向上的投影

问题7：

Fcos表示什么？

生答：力F在位移方向上的分量

F θ

s

师补充：我们把Fcos称为力F在位移S方向上的投影

问题8：对于两个非零向量a、b，向量b在向量a方向上的投影为什么？你能从图中作出b在a方向上的投影吗？

师生共作向量b在a方向上的投影图象。

|b|cos就是向量b在a方向上的投影，OB1即投影的几何表示（板书二）

设计意图：

以上两个环节都是从物理模型中抽象出我们要研究的概念，通过具体问题引领学生得到精确定义，且由形到数的研究方法符合认知规律。由于课标中明确要求“体会平面向量的数量积与向量投影的关系”，因此我舍弃B版教材中向量在轴上的正射影和向量在轴上的数量两个概念，而选用其他版本的投影的概念。

（3）探究a与b的数量积

问题9：F（力）是 量， S（位移）是 量，W（功）是 量

对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，将公式中的力与位移推广到一般向量a与b，怎么来规定︱a︱︱b︱cos的含义? 定义：

︱a︱︱b︱cos叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b

即：a·b=

︱a︱︱b︱cos。（板书三）

教师强调记法，a·b中点不可少，不可写成a

 b。

问题10：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？

若a,b是非零向量，设夹角为θ，完成下表：



0θ

θ=

夹角θ的范围

222a·b的符号

通过此问题不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质作好铺垫。

问题11：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？ （板书四）

通过此问题让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系

问题12：请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积

（板书五）

数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是力与位移的数量积。

（三）练习巩固，总结性质

练习1： ①已知|a|=8, |b|=4, =，求a·b

3 ②已知|a|=3, |b|=2, =0，求a·b

③已知|a|=3, |b|=2, =，求a·b

④已知|a|=4, |b|=2, =，求a·b

2

，求a·b 6⑥已知a·b =5，|a||b|=10，求 设计意图：①是为了巩固数量积定义②③④分别设置了同向、反向、垂直的两个向量，为学生总结性质做好铺垫⑤ b为单位向量时，a·b即为a在b方向上的投影⑥是让学生学会使用数量积表示角，体会数量积的初步应用

问题13：(1)尝试将练习中的②③④⑤⑥的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？

(2) 比较|a·b|与|a||b|的大小,你能得到什么结论？

⑤已知|a|=7, |b|=1, =在学生讨论交流的基础上，教师进一步明晰数量积的性质，证明留待课后学生尝试加以证明。

性质：①当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b| 特别地a·a=|a||a|=|a|即|a|=aa--------求长度

②abab0且a·b=0a⊥b--------证垂直

③如果e是单位向量，则a·e=|a|cos 即向量a与单位向量e的数量积就是向量a在向量e方向上的投影

④cos=2ab----------求夹角

ab⑤|a·b||a||b| 本环节通过学生动手实践，一是巩固数量积定义，二是渗透由特殊到一般的思维方法，培养学生归纳概括的能力

（四）辨析质疑，初步应用

练习2：

(1)判断正误，并简要说明理由. ①

ａ·0＝0；

②

0·ａ＝0；

③

｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；

④若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠0；

⑤ａ·ｂ＝0，则ａ与ｂ中至少有一个为0；

⑥ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２. ⑦若ａ≠0，ａ·ｂ=ａ·c，则b =c (2)已知△ABC中，AB=a, AC=b，当ａ·ｂ<0或ａ·ｂ＝0时，试判断△ABC的形状。

通过（1）使学生在与向量的线性运算、实数乘法运算比较的基础上全面认识数量积这一重要运算

通过（2）使学生感受数量积在三角形中的应用价值。

（五）小结提升：

1、本节课我们学习的主要内容是什么？

2、平面向量数量积的基本应用是什么？

3、你收获了哪些研究问题的方法？

（六）板书设计

向量数量积的物理背景与定义

共起点一、

a与b的夹角

a,b[0,]

二、b在a方向上的投影 练习

三、a与b的数量积 1、定义 4、性质

2、几何意义

3、物理意义

（七）作业布置：

1、课本P115练习A 1、2 2、已知｜ａ｜=5，ｂ在ａ方向上的投影为-7，求ａ·ｂ

3、判断正误，错误的举出反例，正确的尝试证明

（1）

ａ·ｂ=b·a

（2）

(ａ·ｂ)c=ａ(ｂ·c) （3）

(a+b)

·c=a·c+b·c

（4）

(ａ·ｂ)=( ａ)·ｂ=ａ·(ｂ) 作业1、2主要是为了巩固本节课所学内容，由学生独立完成；作业3是下节课的内容，希望学生合作交流，尽可能多得解决问题。