二 多边形的面积（通用）多媒体教案及点评

钉子板上的多边形

一、揭示课题,明确问题

教师板书课题:钉子板上的多边形。

组织教学。

1.师:今天,我们要研究的是――,(生)因为研究的需要,我们就用点子图来代替钉子板。(PPT)

师:你们见过钉子板上的图形吗?(生:见过)

师:这里有几个简单的多边形,口答一下,它们的面积各是多少?

让学生数出面积,全班交流。(评价:同意吗?行吗?)第3个图形可以交流下过程师:那这个图形的面积呢?(按)

师:嗯!有难度吧?看来用以前数、算的方法不能很快解决这个问题,有没有什么方法…能解决稍复杂的或者所有钉子板上多边形的面积呢?(指课题)今天这节课,我们就来研究这个问题。

师:大胆猜猜,多边形面积的大小可能跟什么有关?

2.师:哦!看来,大家已经隐隐感觉到了多边形面积大小与钉子数有关,其实,多边形的面积还真和钉子数有关呢?

二、探索多边形内有一枚钉子时,面积与边上钉子数的关系

(一)引导尝试,初步感知。

1.出示下图,引导学生观察。

师:那么,怎样求钉子板上多边形的面积呢?

(按)老师给大家提供一个研究方案,自己先轻声把要求读一读。

明白了吗?那就把答案填在研究单1中的表格内,开始!

(1)算一算,每个多边形的面积各是多少平方厘米?

(2)数一数,每个多边形边上的钉子数各有多少枚?

(3)想一想,多边形的面积和边上的钉子数有怎样的关系?

师:好了吗?谁来汇报一下?(请一个学生汇报。)

(2,4; 3,6; 3.5,7; 4,8)生边说边出示

2.观察数据,比较发现。

师:观察表中的数据,你们有什么发现?

谁听懂了?×××再说一遍。(PPT:多边形的面积是多边形边上钉子数的一半)师:为了简洁、方便地表示出这个规律,我们可以借助字母,用S表示多边形面积,用n表示边上钉子数,刚才发现的规律可以怎样表示?板书:S=n÷2。

3.观察比较,反思质疑。

师:接下来,我们就用这个公式来验证下这几个图形。(指名回答)(PPT)那这一组

的图形呢?你能说出它们边上的钉子数和面积吗?和你的同桌说一说吧!(同桌交流)

全班交流(按)(PPT)

师:你们心里是不是在纳闷,怎么刚刚得到的规律又不能运用了呢?这是什么原因呢?结合上下两组图形,有什么发现吗?

生:当多边形的中间只有一枚钉子时,就能符合这个规律,而当多边形的中间有两枚或者两枚以上时,就不符合这个规律了。

师:是这样吗?看来,我们之前的发现还要添加一个前提条件,需要什么前提呢?

生:这个图形的内部只有一枚钉子。

师:很严谨,这个规律的前提就是图形内部的钉子数是1,如果图形内部的钉子数用字母a表示,也就是a=1。(板书)

通过研究,我们发现,钉子板上的多边形面积不仅和多边形边上的钉子数有关,还和多边形内部的钉子数有关。

三、探索多边形内部有2、3、4枚钉子时,面积的规律

1.小组合作,探究规律。

师:那么多边形内部钉子数为2、3、4时,多边形的面积和它们又有什么关系呢?

师:(按)谁来清楚、响亮地把小组合作要求读一读?听明白了吗?开始!

研究单2:

1.先讨论、确定本组研究内部钉子数为几的多边形;

2.每人画一个符合本组研究的多边形,算出它的面积,数出边上钉子数;

3.观察、比较组员的数据,讨论:你有什么发现?

学生操作、比较、思考,教师巡视。

3.交流引导内部有2枚钉子,发现规律。

师:(切换展台)差不多了,哪个小组研究内部钉子数为2的?哪组愿意上来交流?

(介绍一下画的多边形,以及它的面积和边上的钉子数)

学生介绍,教师观察正误。

师:也是研究2的小组,你们得到的规律是一样的吗?(一一问过去)

师:现在,我们可以确信这个规律是正确的。当多边形内部钉子数a=2时,面积S =n÷2+1。(板书:S=n÷2+1。)

4.内部3枚钉子。

好,研究内部钉子数为3的小组举个手。哪一组愿意上来交流?

你们都同意吗?

师小结:当多边形内钉子数是3时,面积S就等于n÷2+2。(板书)

5. 内部4枚钉子。

那么,哪些小组研究了内部钉子数为4的?我们请这组上来交流,派个代表吧!

带上组员的钉子图,你们组的发现是——?

这次有没有谁不同意的?真的没有,把你们的发现再说一遍。

确认:当多边形内钉子数是4时,面积S就等于n÷2+3。

6.内部为5、6……

按这样的规律,

如果内部钉子数是5的话,面积S就等于n÷2+4。(板书)

如果内部钉子数是6的话,面积S就等于n÷2+5。(板书)

……

四、拓展延伸,解释规律。

提问:现在,你能把这些公式用一个公式来表示吗?

生:S=n÷2+a-1

师:都同意吗?(生)评价:真是太聪明了!

强调:如果用a表示多边形内部的钉子数(板书),n表示多边形边上的钉子数,那么,多边形的面积S就等于边上的钉子数n除以2,再加上内部的钉子数a,然后减1。(板书:S=n÷2+a-1。)真厉害!用一个公式就把所有的情况都概括在内了。

师:那么当a=0也符合这样的规律吗?

师:怎么办呢?前面,我们碰到过这种情况(按)。

这个相当于(生:内部钉子数为0)的情况,我们来算一下?(算,并板书)

师:现在我们可以确信这个结论是正确的。

师:还记得一开始的那个“河马”吗?现在,你能够用得出的规律解决这个问题了吗?

学生操作,校对答案。

师:这个规律怎么样?(生:——)

师:真是太厉害了!能又快又正确地计算出比较复杂图形的面积。

五、回顾过程,交流体会。

1.师:好!这节课你有什么收获?(生:——)谁有补充?

2.适当介绍,拓展视野。

我们今天发现的这个规律,早在很久以前就由奥地利数学家乔治.皮克发现的,所以也称为“皮克定理”(适当介绍)。有兴趣的同学,可以在网络上或书籍里了解下皮克定理。