一元二次方程的根的判别式ppt课件教学实录

2..3.2一元二次方程根的判别式

大战场初级中学

马小霞

一、教材分析

本节内容是北师大版九年级上册第2章《一元二次方程》第3节《用公式法求解一元二次方程》中的内容，课标规定会用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程是否有实根，有实根时两个实根是否相等。在有根的情况下利用公式法求解一元二次方程是有意义的，同时它是根与系数关系研究的前提，它也是判断相对应的二次函数图像与x轴交点情况的依据. 二、学情分析

学生已经学习了用直接开评方法、公式法节一元二次方程。从知识基础上讲：学生会利用直接开平方法、配方法解数字系数的一元二次方程，掌握了步骤和算理，了解了一元二次方程根的情况.有了一定的运算能力。有了一定的数感，但是符号感不强。对于字母参与的运算掌握的不好. 从学生经验基础讲：学生在利用直接开平方法、配方法解方程过程中，积累了一定的运算经验。只是对于字母表示数后的有关代数式、方程的问题，解决起来有些困难. 三、教学目标

1、利用配方法对求根公式进行再推导，理解求根公式的每一步算理，体会根的判别式的胡意义. 2、不解方程，会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根.有根时，两个实根是否相等，进一步加深学生对根的判别式的理解，提高学生的符号感及理解能力. 3、通过根的判别式的推导与应用，让学生进一步做到查漏补缺，提高学生学习的自信心，解决问题的决心，培养学生克服困难，艰苦奋斗的精神和温故而知新的好习惯. 四、教学重难点

重点：1、利用配方法对求根公式进行推导。在推导过程中进一步理解根的判别式的意义与作用；2、通过不同题型、从不同角度加深学生对根的判别式的理解与掌握，提高学生的符号感及理解能力. 难点：对根的判别式意义的理解. 五、教学过程

（一）推倒求根公式，理解根的判别式的意义

师：通过解一元二次方程可知一元二次方程的根有哪些情况？

生1：有两个不相等的实根，有两个相等的实根，方程无实根. （学生自己进行推导，叫一名学生在黑板上推导）

生2：axbxc0(a0)

2bc2

xx0

aabbbcx2x()2()20

a2a2aab2b24ac(x)0

2a4a2

b2c)2aab24ac224a4a

易错点

b24ac(22)4a4ab24ac4a2(

能不能开方，关键取决于

b2-4ac的值. b2b24ac(x)

2a4a2（学生在这里可能出现问题，算理含糊不清，所以教师讲解）

师：因为4x20，所以能不能开方，关键看b（1）当时b22-4ac的值；

-4ac>0时，能开平方；

bb24acb24acb24acx

22a4a22a4ab24ac的符号

+ - + - a的符号

+ - - + b24ac的符号

2a+ + - - 当b2-4ac≥0时，原方程有实根

bb24acb24acb24acb24acx

22a4a22a2a4ab24acbb24acbbb24ac所以x

2a2a2a2a原方程有两个不相等的实数根. （2）当时b2-4ac=0时，能开平方；

b2)0

2abx0

2abx1x2

2a原方程有两个相等的实数根.

(x（3）当时b2当b2-4ac<0时，原方程无实根

-4ac<0时，不能开平方；

b2b24ac(x)022a4a

原方程无实数根. 由上可知，通过计算b-4ac值的大小可以判断一元二次方程2

ax2bxc0(a0)的根的情况.所以我们把b-4ac将做根的判别式.即△2=b2-4ac. bb24ac所以，当△=b-4ac≥0时，方程有实数根。x2a. 2总结：

b2-4ac的值

b2-4ac≥0 b2-4ac<0 方程无ax2bxc0(a0)方程有实数根。

根的情况

b2-4ac>0 b2-4ac=0 实数根。

方程有两个不方程有两个相等相等的实数根，的实数根，设两设两根分别为根分别为x1,x2,则x1,x2. x1=x2

师:那请大家利用根的判别式来研究下列方程的根的情况. （二）在解题过程中体会根的判别式的意义与作用

1、利用b2-4ac直接判断根的情况

（1）判断下列方程根的情况。

222A、xx10

B、x2x10

C、(x1)(x2)0

D、(x1)10

（学生自己完成并说明理由）

生3：用配方法解不出来，所以原方程无解. 师：非常好，还有不同的方法吗? 生4：A选项中，a=1,b=-1,c=1;所以b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3＜0，所以原方程无实根. 生5：B选项中，a=1,b=2,c=1;所以b2-4ac=22-4×1×1=0，所以原方程有两个相等的实数根. 2生6：将方程化成一般式得，xx20，a=1,b=1,c=-2;所以b2-4ac=12-4×1×（-2）=9＞0，所以原方程有两个不相等的实数根. 2(x1)1，不能进行开平方，所以原方程无解。

生7：因为方程可转化为师：大家都非常棒，特别判断方程根的情况时，要灵活选择正确的判断方法，比如第四小题中，直接用开平方法就能判断，比用根的判别式更简单奥.

师：看来同学们掌握的不错，那你能利用根的判别式求一元二次方程的系数的取值范围吗？

2、利用b2-4ac求一元二次方程的系数或系数中字母的取值范围

（1）已知关于x的一元二次方程x22xa0有两个相等的实数根，则a的值是（

）

A、4

B、-4

C、1

D-1

（学生思考并回答问题，教师根据实际情况进行点评）

生8：因为此方程有两个相等的实数根，所以b2-4ac=0，即22-4×1×（-a）=0.则a=-1.

（2）请你给出一个c的值c=

使方程x23xc0无解. （学生思考并回答问题，教师根据实际情况进行引导）

学生可能会给出一个具体的值，然后试着判断方程是否满足无解。教师引导学生从c的取值范围里选择c的值，也是一种解决方法. 生9：c=3时，b2-4ac=（-3）2-4×1×3=-3＜0，所以方程x23x30无解。

2生10：c也可以等于4，b2-4ac=（-3）2-4×1×4=-7＜0，所以x3x40无解. 师：非常好，这样的c值有很很多，那么这些c值都满足什么条件呢？

生11：都大于0；

生12:不对，都大于2. 师：谁说的对呢？大家相互讨论一下（学生产生了困惑，再进行讨论解决问题）

2生13：方程x3xc0无解，那么b2-4ac<0，即（-3）2-4×1×c＜0，解得c9

4。只要所取的c值在这个范围内都是对的.

（3）关于x的方程(1k)x2x10有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是

（学生思考并交流讨论，回答问题）

生14:因为方程有两个不相等的实数根，所以2b2-4ac>0，即（-2）2-4（1-k）×(-1)>0,解得

K<2. 师:同学们同意这个学生的说法吗？

生15：不同意，1-k≠0,此方程才是一元二次方程，才有两个不相等的实数根。所以k≠1. 师：非常好，两位同学考虑的角度都对，k应同时满足这两个条件。即K<2且k≠1。

师：那么b2-4ac还有哪些通途呢？

3、利用b2-4ac研究根与系数的关系

bb24ac师：当△=b-4ac≥0时，方程有实数根。x2a，即2bb24acbb24acx1x2,x1x2x1x2

2a2a，。你们能算出吗？（学生自己推导，教师点评。并叫两位同学在黑板上推导.）

bb24acbb24acx1x22a2a

bb24acbb24ac2a2bb2aa

bb24acbb24acx1x22a2a

(bb24ac)(bb24ac)(bb24ac)(bb24ac)4a2(b)2(b24ac)4a2

4acc24aa易错点

(b)2(b24ac)2b(b4ac)b2b24ac4ac22

2axbxc0(a0)，当b2-4ac≥0时，设它的两师：对于一元二次方程个根分别是x1,x2，则

x1x2,x1x2x1,x2与系数a,b,c的关系. bac

，这就是一元二次方程的根a师：那你能利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积吗？

22x5x607x2x30

（1）

（2）（学生自己完成教师点评）

大多数学生可能会直接计算出两根之和与两根之积，而忽略了原方程根的情况，所以教师要引导学生体会：一元二次方程有实根了计算两根之和与两根之积师有意义的；如果方程bcxx,xx212无实根，虽然能计算出1aa，但是没有意义.

易错点

生16：解：(1)∵a=1,b=-5,c=-6

∴

x1+x2

=-（-5）=5；x1·x2=-6.

生17：解:∵a=7,b=2,c=3 22∴b-4ac=2-4×7×3=-80＜0

所以原方程无实数根，所以不能计算两根. 解:∵a=1,b=-5,c=-6 ∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(-6)=49＞0

所以原方程有两个不相等的实数根，设两根分别是x1,x2

那么x1+x2=-（-5）=5；x1·x2=-6=-6.

之和、两根之积

（三）课堂小结

师：非常好，同学们能理解易错点，看来大家用心听课了，那回顾本节课的内容，你有哪些收获呢？

生18：对求根公式的推导过程理解了；

生19：会判断一元二次方程根的情况了；

生20：计算两根之和、两根之积时，先要判断原方程是否有实根. ...... 师：那本节课用到了什么数学思想方法呢？

生：类比、归纳总结的思想方法. 师：非常好。温故而知新，下面我们布置作业巩固本节的内容. （四）作业布置

请同学们选择适合自己的题作为作业. A组题目

2x2x50

1、利用公式法解方程：2、一元二次方程x＋x＋2＝0的根的情况是（

）

A．有两个不相等的正根 B．有两个不相等的负根

C．没有实数根 D．有两个相等的实数根

3、方程22x2x10的两个根分别为x1,x2，则x1x2

，x1x2 。

4、已知关于x的一元二次方程x＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是( ) 2A．1

B．－1

1 C． 4

1 D．－4

B组题目

1、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( ) ．A．x210

222B．x2x10 C．x2x30 D．x2x30

22、已知关于x的一元二次方程x＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是( ) A．1

B．－1 2

1 C． 4

1 D．－

43、关于x的一元二次方程x+px+q=0的两根分别为x1＝3、x2＝1，那么这个一元二次方程是（ ）

A. x+3x+4=0 B. x-4x+3=0 C. x+4x-3=0 D. x+3x-4=0 4、关于x的一元二次方程kx+2x－1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是_____________．

225、已知关于x的一元二次方程x4xk2k30的一个根为0，求k的值和方程的22222

另外一个根。

（五）板书设计

黑板分四块：第一、二块黑板是重点知识梳理；第三、四块黑板书写推导过程、例题过程、练习过程等。

第一、二快黑板书写内容：

1、根的判别式△=b2-4ac

b2-4ac的值

b2-4ac≥0 b2-4ac<0 方程无b2-4ac=0 实数根. ax2bxc0(a0)方程有实数根

根的情况

b2-4ac>0 方程有两个不方程有两个相等相等的实数根，的实数根，设两设两根分别为根分别为x1,x2,则x1,x2. 2x1=x2

bb24ac

当△=b-4ac≥0时，方程有实数根。x2a. 2、在解题过程中体会根的判别式的意义与作用

（1）利用b2-4ac直接判断根的情况

（2）利用b2-4ac求一元二次方程的系数或系数中字母的取值范围

（3）利用b2-4ac研究根与系数的关系

bcx1x2,x1x2aa

第二三块黑板书写内容：

1、对求根公式

推导过程；

2、例题、练习的解题过程.