阅读与思考　一次方程组的古今表示及解法第二课时 公开课

第八章《二元一次方程组》数学活动

——再探二元一次方程组解法

一、内容及内容解析

1.内容

第八章二元一次方程组数学活动1（探究图象法解二元一次方程组）

2.内容解析

二元一次方程组的解法有多种，消元法解方程组是基本解法，但不是唯一解法，图象法解方程组也是常用方法，它体现了数形结合的数学思想方法，而行列式、矩阵也可以用来解方程组. 本节课的教学重点是：会画二元一次方程组的图象，借助图象估算方程组的解，体会通过数形结合解决数学问题. 二、目标和目标解析

1.目标

（1）会画二元一次方程的图象，掌握二元一次方程与直线之间的对应关系. （2）了解二元一次方程组的解与直线交点之间对应关系，体会数形结合思想. 2.目标解析

达成目标（1）就是：学生了解达二元一次方程的解与点的对应关系，点动成线，即为二元一次方程的图象. 达成目标（2）就是：让学生经历探究图象法解二元一次方程组的过程，体会数与形的对应关系，进一步体会数形结合思想. 三、教学问题诊断分析

学生已经学习了直角坐标系相关知识，初步了解了有序数对与点之间的对应关系，如何将二元一次方程的解与点对应，二元一次方程与直线对应，需要学生通过观察对照、动手操作，发现数与形之间可以互相转化，方程组的解就是对应直线交点的坐标. 本节课的教学难点是：了解二元一次方程与直线之间对应关系，掌握直线交点坐标就是对应方程组的解. 四、教学过程设计

活动1温顾思新

问题:用消元法解方程组2xy4

xy1师生活动：学生分组分别用加减消元法和代入消元法独立解方程组，学生完成后，教师引导学生交换检查，互相纠错. 设计意图：复习本章所学二元一次方程组的解法，再次经历解方程组过程，为后面探究新的二元一次方程组的解法做铺垫. 追问：还有其它方法解这个方程组吗？

设计意图：提出问题，引出本节课活动内容.

活动2探究新知

探究1：二元一次方程的图象

（1）问题

①怎样把x-y=-1的解用一个点表示出来；②标出一些以方程x-y=-1的解为坐标的点，你有什么发现？③在这条直线上任取一个点，这个点的坐标是方程x-y=-1的解吗？

师生活动：学生先分组活动，在组内交流，形成统一意见，然后教师组织学生代表在全班展示，进行辩论. 设计意图：问题①引导学生将方程的一个解与平面直角坐标系内的一个点对应起来，问题②、③帮助学生发现二元一次方程对应平面直角坐标系中的直线，二元一次方程无数个解对应无数个点，所有点的全体汇聚成一条直线，而直线上的任何一个点对应方程的一个解. （2）归纳

以方程x-y=-1的解为坐标的点的全体叫做方程x-y=-1的图象，方程x-y=-1的图象是一条直线，方程x-y=-1的图象需要两个点的坐标. 师生活动：教师在学生辩论的基础上，引导学生归纳总结结论. 设计意图：引导学生在思考、动手操作、交流的基础上归纳结论，进一步明确二元一次方程的图象是一条直线，为后续探究二元一次方程组的解法做准备，也为八年级学习一次函数和进一步学习用图象法解方程组埋下伏笔. （3）应用

①已知方程2x+y=4有一个解为x0，则方程2x+y=4的图象上必有一个点的坐标为y4（

，

）；

②已知方程2x+y=4的图象上有一个点的坐标为（2，0），则方程2x+y=4的必有一个解为

；

③画方程2x+y=4的图象. 追问：怎样画二元一次方程的图象？

设计意图：通过以上三个问题及时反馈学生思维上的一些偏差，加深对二元一次方程与直线相对应的理解，掌握画二元一次方程的图象的方法方法.

探究2：二元一次方程组的图象解法

（1）问题

由方程组2xy4中两个二元一次方程的图象，你能得出二元一次方程的解吗？

xy1师生活动：学生分组讨论，在组内提出疑问，相互帮助解决问题，然后教师对学生提问，纠正学生的错误观点. 设计意图：让学生经历独立思考、交流讨论的探究过程，掌握用图象法解二元一次方程组的方法. （2）归纳

二元一次方程组的解就是相应两个二元一次方程的图象的交点的坐标. 追问：用图象法解方程组的步骤是什么？

设计意图：突出本节课的核心内容，突破难点，通过归纳二元一次方程组与对应图象交点的关系，帮助学生获得用图象法解二元一次方程组的步骤，锻炼学生的归纳能力和表达能力. （3）应用

①若关于x，y的方程组axbyc①mxnyp②中两个二元一次方程的图象如图所示，则方

程组

axbyc①mxnyp②y 的解为

. y 2 2 -1 x 1 x 2xay4②若关于x，y的方程组中两个二元一次方程的图象如图所示，则a+b=

. xby1③方程组3x2y2的解情况是

（有一组解，无数组解，无解），方程6x4y45x2y4组的解情况是

（有一组解，无数组解，无解）. 1ox4y8师生活动：学生独立完成，教师组织学生点评.

设计意图：使学生进一步理解直线的交点与二元一次方程组的解的对应关系，掌握图象法解决问题的方法，体会数学结合的思想. 活动3总结延伸

1.解二元一次方程组的解法有

、

；

2.怎样用图象法解二元一次方程组？

3.解二元一次方程组3x2y53 2 5就是把二元一次方程组的矩阵逐渐转化为4x5y34 5 31 0 axa的形式，此时，二元一次方程组的解为.具体的变形过程为：

0 1 byb3 2 5第2行—第一行

4 5 3

3 2 5第2行与第1行互换

1 3 2

第1行×（1 3 23 2 5

1）

1 3 2第2行—第1行×3 1 3 27



0 1 -11

0 7 117第1行—第2行×3 1919x1 0 3x2y577，则方程组的解为

114x5y3y110 1 -77

以上过程就是用矩阵解二元一次方程组的方法，你能仿照以上方法求2xy4的解xy1吗？此题供同学们在课外探究，有兴趣的同学还可以研究用行列式解二元一次方程组.

设计意图：通过问题1、2引导学生再次回顾本节课，从数学知识、数学思想方法等层面提升本节课研究内容的认识；问题3引导学生由课内学习向课外学习延伸，培养学生的学习能力，提升学生的数学素养.