三元一次方程组的解法2名师教学视频（文字实录）

8.4

三元一次方程组的解法(第2课时) 石泉县城关中学 陈相昀

一、内容和内容解析

1．内容

三元一次方程组的解法．

2．内容解析

本节课的例题是根据已知的三对对应的x，y值，列出关于a，b，c的三元一次方程组，通过解方程组求出a，b，c的值．列出这个方程组很容易，但解这个方程组相比第1课时要复杂一些．通过求解这个三元一次方程组，进一步巩固三元一次方程组的一般解法．

在二次函数的内容中，我们由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上任意三个点的坐标，确定它的系数a，b，c，从而求出二次函数的解析式．对这类问题的求解也要用到三元一次方程组的解法．

本节课的教学重点：三元一次方程组的解法．

二、教材解析

本节课是三元一次方程组的第2课时，主要内容是教材中的例2．它是三元一次方程组的简单应用．设置例2的目的一个是将列、解三元一次方程组结合起来，体现用三元一次方程组解决具体问题的过程．另一方面是所列出的三元一次方程组中每一个方程均含有三个未知数，这是和第1课时中的方程组不同的地方，通过解这个方程组巩固三元一次方程组解法的基本思路，进一步明确解三元一次方程组的过程．

三、教学目标和目标解析

1．教学目标

会解较复杂的三元一次方程组．

2．目标解析

通过求具体问题的解，巩固三元一次方程组解法的基本思路，进一步明确解例2这样的三元一次方程组的过程．

四、教学问题诊断分析

本节课要解的三元一次方程组与第1课时中出现的例题和习题不同：方程组中的三个方程均含有三个未知数，要通过两次消同一元，才能将三元一次方程组转化为二元一次方

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程组．

本节课的教学难点：如何将三元一次方程组转化为二元一次方程组．

五、教学过程设计

复习引入

问题1 你能说一下如何解三元一次方程组吗？它的基本思路是什么？

师生活动：教师提出问题，由学生回答，通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组．

【设计意图】让学生回忆解三元一次方程组的基本思路，明确消元思想．

问题2 解三元一次方程组

x﹣y＝﹣1

x－3y＋z＝﹣2

x＋2y－z＝4. 典例讲解

例2 在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60，求a，b，c的值．

问题2 根据已知条件，你能得到什么？

师生活动：学生充分读题，教师通过问题串，引导学生求解这个问题．

追问1

对于等式y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝0，根据这个条件会得到什么？

师生活动：教师提出问题，学生思考并回答，会得到方程a－b＋c＝0．若学生回答的结果是0＝a－b＋c，应让学生改写一下．

追问2 你还能列出另外两个关于a，b，c的方程吗？

师生活动：学生给出答案4a＋2b＋c＝3，25a＋5b＋c＝60，并列出由这三个方程组成的三元一次方程组

a－b＋c＝0，

①

4a＋2b＋c＝3，

②

25a＋5b＋c＝60．

③

【设计意图】让学生利用求代数式值的方法，根据已知条件列出方程，并组成一个关于a，b，c的三元一次方程组．

问题3 你会解这个方程组吗？如何将这个三元一次方程组转化为二元一次方程组？

师生活动：学生回答用消元的方法将三元一次方程组转化为二元一次方程组．

2

①

②

③

追问1 先消去哪个未知数？为什么？

师生活动：学生给出答案先消去c，会比较简单．

【设计意图】让学生先认真观察系数特征，再说出先消去c的理由，选择系数的绝对值最小的进行消元．

追问2 如何消去c？

师生活动：学生回答②－①，得a＋b＝1．

④

【设计意图】让学生根据方程组中系数的特征，选择用加减消元法消去c．

追问3 现在得到二元一次方程组了吗？如何得到？

师生活动：学生回答：③－①，得24a＋6b＝60，即4a＋b＝10．

⑤

方程④和⑤可组成一个二元一次方程组．

【设计意图】让学生根据未知数的系数特征，明确如何消元．

问题4 现在你能求出这个二元一次方程组的解吗？能得到三元一次方程组的解吗？

师生活动：在教师的引导下，由学生一步步完成这个三元一次方程组的求解过程．让学生进一步明确解三元一次方程组的过程．要将三个三元一次方程两两组合，经过两次消元，得到两个二元一次方程，解这两个二元一次方程组成的方程组，求出这两个未知数的值，再代回原方程组中的任何一个三元一次方程，求出另外一个未知数的值．

【设计意图】让学生完成求解过程．

问题5 如果还是选择消去c，你有其他的方法吗？

师生活动：学生回答③－②可得21a＋3b＝57，即7a＋b＝19．

⑥

方程④与⑥也可以组成一个二元一次方程组，也可以求出这个三元一次方程组的解．

【设计意图】让学生体会在消元的过程中，三个三元一次方程两两组合，都可以消元得到二元一次方程组，但在计算时会有繁易的区别．

问题6 消去a或b可以吗？如何操作？

师生活动：学生回答可以．若要消去b，可将①×2＋②，得6a＋3c＝3，即2a＋c＝1．再将①×5＋③，得30a＋6c＝60，即5a＋c＝10．若要消去a，可将②－①×4，得6b－3c＝3，即2b－c＝1．再将③－①×25，得30b－24c＝60，即5b－4c＝10．

【设计意图】让学生明确解三元一次方程组时消去哪个未知数都可以得到二元一次方程组，但是消去不同的未知数，在计算时会有繁易的区别．所以，在解三元一次方程组时，要先认真观察各未知数的系数的特征，再确定消去哪个元及如何消元．

3

学以致用

3x－y＋2z＝3，1．解方程组2x＋y－4z＝11，若要使运算简便，消元的方法应选(

) 7x＋y－5z＝1，A．消去x

B．消去y C．消去z

D．以上说法都不对

x＋2y＋z＝8①，2．解方程组2x－y－z＝－3②，下列做法正确的是(

) 3x＋y－2z＝－1③，A．要消去y，先将①－③×2，再将②－③

B．要消去y，先将①－②×2，再将②＋③

C．要消去z，先将①＋②，再将①×2＋③

D．要消去z，先将①＋②，再将①×3－③

3.在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=2；当x=－1时，y=－2；当x=2时，y=3，求a、b、c的值．

【设计意图】巩固三个方程均含有三个未知数的三元一次方程组的解法．让学生进一步明确先消哪个元，如何消元．

当方程组中的三个方程均含有三个未知数时,要选择系数简单的未知数进行加减或代入变形;方程的系数和常数项有公约数时，要先约去

公约数。

. 例3、解下列方程：

x ∶y =1 ∶5

y ∶z=2 ∶3

x+y﹢z=27

例4、解下列方程：

x ∶y∶z =2∶3 ∶5

x+y﹢z=20

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解决此类方程中含有两个数(或三个数)的比的方程组，你有哪些好的方法？

归纳总结：

已知三个数的比时，可以引入一个参数k;已知两个数的比时，可以引入参数k,也可以利用比例的性质将方程化为一般式. 课堂练习

1.已知三角形ABC的周长为36,a,b,c是它的三条边长, a+b=2c,a: b=1 : 2.求a,b,c的值. 2.若(2x-4)2+

归纳小结

对自己说，你有什么收获？

对同学说，你有什么温馨提示？

对老师说，你还有什么困惑？

布置作业

必做题.106页习题8.4第2-5题；

选做题：

多元一次方程组的解法一题。

xy

+|4z﹣y|=0,求x﹢y﹢z的值.

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