2.3.1 椭圆的参数方程PPT专用课堂实录内容

河北无极中学

第二节

参数方程

考点

高考试题

2017·全国卷Ⅰ·T22·10分

考查内容

参数方程与普通方程互化，点到直线的距离

参数方程、极坐标方程与普通方程互化，曲线方程，三角函数

核心素养

数学运算

参数方程

2017·全国卷Ⅲ·T22·10分

数学运算

数学运算

数学运算

数学运算

2016·全国卷Ⅰ·T23·10分

参数方程、极坐标方程与普通方程互化

2016·全国卷Ⅱ·T23·10分

参数方程、极坐标方程与普通方程互化，直线与圆的位置关系

2015·全国卷Ⅱ·T23·10分

参数方程、极坐标方程与普通方程互化

命题分析

1．参数方程的概念

本节内容一直是高考的必考知识，主要考查参数方程与普通方程的互化及其参数方程的应用．尤其是利用椭圆、圆的参数方程求最值以及利用直线参数方程参数的几何意义求值. 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y是某个变数t的x＝ft，x＝ft，函数：并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都y＝gt，y＝gtx＝ft，在曲线C上，那么方程叫作这条曲线的参数方程，变数t叫作参变数，简称参数.y＝gt

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程. 2．直线、圆、椭圆的参数方程

x＝x0＋tcos α，(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．

y＝y0＋tsin α

(2)圆心为点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为

x＝x0＋rcos θ，(θ为参数)．

y＝y0＋rsin θx＝acos φ，x2y2(3)椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的参数方程为(φ为参数)．

aby＝bsin φ

提醒：

在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x，y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．

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1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) x＝t＋1，(1)参数方程(t≥1)表示的曲线为直线．(

) y＝2－tx＝cos θ＋m，(2)参数方程当m为参数时表示直线，当θ为参数时表示的曲线为y＝sin θ－m，

圆．(

) x＝－2＋tcos 30°，(3)直线(t为参数)的倾斜角α为30°.(

) y＝1＋tsin 150°x＝2cos θ，(4)参数方程y＝5sin θ

θ为参数且θ∈0，π表示的曲线为椭圆．(

) 2答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

x＝t，x＝3cos φ，2．在平面直角坐标系xOy中，若l：(t为参数)过椭圆C：(φy＝t－ay＝2sin φ

为参数)的右顶点，求常数a的值．

解：∵x＝t，且y＝t－a，

消去t，得直线l的方程y＝x－a，

又

x＝3cos φ且y＝2sin φ，消去φ，

x2y2得椭圆方程＋＝1，右顶点为(3,0)，

94依题意0＝3－a，∴a＝3. πθ－＋6＝0，求ρ的最大值．

3．已知圆M的极坐标方程为ρ2－42ρcos4解：原方程化为ρ2－42ρ·22cos θ＋sin θ＋6＝0，

22即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0. 故圆的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0. 圆心为M(2,2)，半径为2. 故ρmax＝|OM|＋2＝22＋2＝32

参数方程与普通方程的互化

[明技法]

将参数方程化为普通方程的方法

(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，

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常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．

(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．

[提能力]

x＝t，【典例1】

(2014·湖北卷)已知曲线C1的参数方程是(t为参数)，以坐标原点3ty＝3为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为________. 解析：曲线C1为射线y＝曲线C2为圆x2＋y2＝4. 设P为C1与C2的交点，

如图，作PQ垂直x轴于点Q. 3x(x≥0)．

3

因为tan∠POQ＝3，

3所以∠POQ＝30°，

又∵OP＝2，所以C1与C2的交点P的直角坐标为(3，1)．

答案：(3，1) 【典例2】

(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝－8＋t，2x＝2s，t(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)．设P为曲线C上的y＝y＝22s2

动点，求点P到直线l的距离的最小值．

解：直线l的普通方程为x－2y＋8＝0. 因为点P在曲线C上，设P(2s2,22s)，

从而点P到直线l的距离

|2s2－42s＋8|2s－22＋4d＝＝. 512＋－22当s＝2时，dmin＝45. 5

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45因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值. 5[刷好题]

1．(2015·湖北卷)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0.曲线C的参数方程为1y＝t＋t参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________. 解析：直线l和曲线C在直角坐标系中的方程分别为y＝3x和y2－x2＝4，

1x＝t－，t

(t为y＝3x，联立22y－x＝4，

x＝22，得32y＝2，

x＝－22，或32y＝－.2

故|AB|＝答案：25 2＋22＋32＋322＝25. 22222．已知曲线C的方程y2＝3x2－2x3，设y＝tx，t为参数，求曲线C的参数方程．

解：将y＝tx代入y2＝3x2－2x3，得t2x2＝3x2－2x3，

即2x3＝(3－t2)x2，当x＝0时，y＝0；

3－t23t－t3当x≠0时，x＝，从而y＝. 22∵原点(0,0)也满足3t－ty＝2，33－t2x＝，2

3

∴曲线C的参数方程为3t－ty＝2直线与圆的参数方程的应用

[明技法]

3－t2x＝，2

(t为参数)．

将参数方程中的参数消去便可得到曲线的普通方程，消去参数时常用的方法是代入法，有时也可根据参数的特征，通过对参数方程的加、减、乘、除、乘方等运算消去参数，消参时要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响．

[提能力]

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x＝－4＋cos t，x＝8cos θ，【典例】

已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：(θ为参y＝3＋sin ty＝3sin θ

数)．

(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

π(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：2x＝3＋2t，(t为参数)的距离的最小值．

y＝－2＋t

解：(1)曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，

x2y2曲线C2：＋＝1，

649曲线C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；

曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

π(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，

23－2＋4cos θ，2＋sin θ. 故M2曲线C3为直线x－2y－7＝0，

M到C3的距离d＝5|4cos θ－3sin θ－13|，

543从而当cos θ＝，sin θ＝－时，

5585d取最小值. 5[刷好题]

x＝a－2t，x＝4cos θ，已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θy＝－4ty＝4sin θ

为参数)．

(1)求直线l和圆C的普通方程；

(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．

解：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，

圆C的普通方程为x2＋y2＝16. (2)因为直线l与圆C有公共点，

|－2a|故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，

5解得－25≤a≤25.

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参数方程与极坐标方程的综合问题

[明技法]

处理极坐标、参数方程综合问题的方法

(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．

(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．

[提能力]

x＝acos t，【典例】

(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(ty＝1＋asin t

为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ. (1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a. 解：(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

22ρ－2ρsin θ＋1－a＝0，

ρ＝4cos θ.

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1. a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．

所以a＝1. [刷好题]

x＝2＋t，(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直y＝kt

x＝－2＋m，线l2的参数方程为m(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨y＝k迹为曲线C. (1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，

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M为l3与C的交点，求M的极径．

解：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；

1消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．

ky＝kx－2，设P(x，y)，由题设得1

y＝kx＋2，消去k得x2－y2＝4(y≠0)，

所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．

(2)C的极坐标方程为

ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，

ρcosθ－sinθ＝4，联立

ρcos θ＋sin θ－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．

191故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝. 31010代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，

所以交点M的极径为5.

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