5.4 二次函数与一元二次方程名师教学实录

22.2 二次函数与一元二次方程

韩愈中学

席红云

教学目标

1. 从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质，了解二次函数与二次方程的相互关系．

2. 探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值（或最小值）及函数的增减性的概念．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．

3. 通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点．

教学重点

二次函数的最大值，最小值及增减性的理解和求法．

教学难点

二次函数的性质的应用．

教学过程

一、导入新课

我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解．

现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．

二、新课教学

1．问题讲解．

如下图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系

h＝20t－5t2．

考虑以下问题：

（1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？

（2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？

（3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？

（4）小球从飞出到落地要用多少时间？

教师引导学生阅读例题，请大家先发表自己的看法，然后解答．

分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．

解：（1）解方程

15＝20t－5t2，

t2－4t＋3＝0，

t1＝1，t2＝3．

当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m．

（2）解方程

20＝20t－5t2，

t2－4t＋4＝0，

t1＝t2＝2．

当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m．

（3）解方程

20.5＝20t－5t2，

t2－4t＋4.1＝0，

因为(－4)2－4×4.1＜0，所以方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m．

（4）解方程

0＝20t－5t2，

t2－4t＝0，

t1＝0，t2＝4．

当小球飞行0 s和4s时，它的高度为0 m．这表明小球从飞行到落地要用4s．从上图来看，0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面．

从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切．

2．拓展延伸．

思考：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？

（1）y＝x2＋x－2；

（2）y＝x2－6x＋9；

（3）y＝x2－x＋1．

教师引导学生画出函数的图象（可见教材第45页），然后说说有什么特点和性质．

2（1）抛物线y＝x＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1．当x取公共点的横坐标时，函数值是0．由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1．

（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3．当x＝3时，函数值是0．由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3．

（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点．由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．

3．归纳总结．

从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出什么结论呢？

归纳：一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论．

（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．

（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．

三、巩固练习

1．教材第46页例题．

教师让学生小组为单位讨论、解答．必要时教师可进行指导．

2．习题22.2 第14题．

四、课堂小结

今天你学习了什么？有什么收获？