12.1 实数的概念教学教案设计

12．1实数的概念

教学目标

知识与技能：了解数系从整数到有理数、再到实数的扩展过程，理解实数系统的结构，体会分类思想.

过程与方法：通过对比分析，理解无理数是无限不循环小数，会辨别一个数是否是无理数.

情感态度价值观：通过动手操作经历发现无理数的过程，了解无理数是客观存在的数，了解无理数的发现是人类理性思维的胜利. 教学重点及难点

理解无理数是无限不循环小数，会辨别一个数是否是无理数. 教学用具准备

各种大小的正方形纸片若干、小剪刀若干、多媒体设备. 教学过程设计

一、

复习引入

教师设问：

(1)我们已经学习了有理数，你能举出几个有理数吗？

(2)有理数都可以表示为哪种统一的形式？

(3)是不是所有的数都能表示为分数p(p,q都是整数，且q0)的形式？

q答：不是，无限不循环小数（如：π）就不能表示为该形式. [说明]前两个问题带领学生复习已有的相关知识；第三个问题设置疑问，引发学生的思考，带着这样的困惑和好奇学习新知. 二、

学习新知

1．

操作剪拼正方形，引出2. 要求：能否将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形？怎样剪拼？它的面积是多少？边长如何用代数符号表示？

师：如果设该正方形的边长为x，那么x22，即x是这样一个数，它的平方等于2.这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度.由于这个数和2有关，我们现在用2（读作“根号2”）来表示. 追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？

类似的，分别用3（读作“根号3”）、5（读作“根号5”）来表示. 2．

尝试说明2是一个无限不循环小数. 要求学生尝试完成以下填空：

假设2是一个有理数，设2p(p,q表示整数且互素，同时q0)，

q等式两边分别平方，可以得到2= ，则p2= ，

由此可知p一定是一个 （填“奇”或“偶”）数，

再设p=2n(n表示整数)，代入上式，那么q2= ，

同理可知q也是 .这时发现p、q有了共同的因数2，

这与之前假设中的“ ”矛盾.因此假设不成立，

即2不是 ，而是无限不循环小数. 师生总结：从以上填空可以说明2是无限不循环小数. 3．

请你再举出几个无限不循环小数的例子. 除了以上提到的2，我们熟悉的圆周率也是无限不循环小数.此外，我们还可以构造几个无限不循环小数，如：0.202002000200002……、0.123456789101112131415161718192021222324……等. 三、

形成概念

1．无理数

无限不循环小数叫做无理数.无理数也有正、负之分.只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数. 2．实数

有理数和无理数统称为实数.实数可以这样分类：

正有理数

有理数 零 ——有限小数或无限循环小数

实数 负有理数

正无理数

无理数 ——无限不循环小数

负无理数

四、

巩固练习

1．将下列各数填入适当的括号内：

3、22、5、π、0.3737737773…. .20、-3、2、6、3.14159、07有理数：﹛ ﹜；无理数：﹛ ﹜；

正实数：﹛ ﹜；负实数：﹛ ﹜；

非负数：﹛ ﹜；整 数：﹛ ﹜. 2．判断下列说法是否正确，并说明理由：

(1) 无限小数都是无理数； (2)无理数都是无限小数；

(3)正实数包括正有理数和正无理数；

(4)实数可以分为正实数和负实数两类. 3．请构造几个大小在3和4之间的无理数. 4．用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义：

{ { { (1)2 分数. (2) 0 有理数. (3) 无限不循环小数 无理数.(4) 实数 有理数和无理数. (5) 正整数、0和负整数 整数.

(6) 有理数 有限小数或无限循环小数. 五、自主小结

请学生谈谈：你学到了什么? 你有什么样的疑问？

你有什么收获、体会或想法? 你还想知道什么？

六、布置作业

布置作业：必做：数学练习册12.1习题

选作：伴你成长

教学反思

本节课的知识形成过程：首先通过操作，得到面积为2的正方形，提出

“正方形的边长怎样表示”的问题，引出边长为“2”.然后通过与有理数比较分析并且说理，推出2只能是一个无限不循环小数，即无理数.紧接着再举几个无理数的例子.在此基础上，引进无理数，归纳得到实数的概念，体验数的扩充的过程和必要性. （1）动手操作和问题讨论的目的，是让学生感受2的现实意义，并认识到用已有的有理数不能准确表示这一线段长度，因而需要寻找一种新的数来解决问题；同时调动学生学习和思维的积极性，帮助学生体验无理数的产生过程，引导学生用科学的眼光认识世界.本节中“含义待下一节课详述. （2）考虑到学生层次相对较好，教学中以2为例，教师与学生一起通过说理，说明了2不是有理数，而是一个无限不循环小数.对此，可结合本班学生实际特点开展教学. （3）把无限不循环小数叫做无理数，是与有理数的意义进行比较后，通过理性思考得到的，无需做更多地解释.无理数的相反数的概念在“实数运算”一节有定义，这里只对特殊的数作说明. （4）实数的分类办法，建议与有理数分类方法进行比较.实数的分类能帮助学生更好认识实数，构建数系知识结构，应予重视.在此要帮助学生领会数的分类应遵循的规则，领会分类思想. 22（5）练习从不同的角度帮助学生理解实数系中各类数的概念.练习1中应给7予关注，它是一个无限循环小数，学生容易将它归入无理数范畴.练习2的（3）、（4）两小题，建议与实数的分类作比较分析，即可得出正确结论.在此可引导学生总结实数的另一种分类方法。

”的出现先于定义，暂只作为一个记号，其