1.2.2 极坐标系与直角坐标的关系课程导入及其完整教案

1.2.2极坐标和直角坐标的互化-教学设计

保定市第三中学——徐正之

（一）课前系统准备

一、课标分析：坐标系作为解析几何的基础工具，通过建立合适的坐标系，借助直线、圆与圆锥曲线的几何特征，导出相应的方程，利于解决代数问题。

二、教材分析：本节课为4-4第一章的第三节内容，是在学生已经学***面直角坐标系的背景下，通过类比直角坐标系的研究方法让学生进行自主探究，借助三角函数的定义，完成直角坐标系与极坐标系的互化，为简单曲线的极坐标方程以及参数方程奠定基础。

三、学生分析：授课班级为文科班，学生对数学的热情不高。讲解时通过前面对平面直角坐标系的学习，学生已经对坐标系有了一定的了解，极坐标的思想已经普遍地存在于日常生活中，对于极坐标的学习应该容易接受。

四、教学目标：

1、教学目标：a. 体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置及曲线方程的区别；

b. 能进行极坐标与直角坐标系的互化；

c. 直角坐标方程与极坐标方程的互化；

2、重点难点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解、互化关系式的掌握

五、教学策略：公式引导与计算练习两部分教学。

（二）教学过程设计

一、引入：

1、复习与回顾：

上节课我们学习了一个新的坐标系——极坐标系

（1）想一想，用极坐标系刻画点的位置，比起我们之前所学的直角坐标系有何不同？

极坐标系用于刻画“角度”、“距离”的点的位置更为直观。

（2）极坐标系是如何建立的？

在平面内取一个定点o，叫做极点；引一条射线oX，叫做极轴；在选定一个长度单位和角度单位以及它的正方向（通常取逆时针方向）。

（3）类比直角坐标系，如何表示极坐标系中的点？

对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从极轴逆时针旋转的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做M的极角，有序实数对（ρ，θ）就叫做M的极坐标。

（4）类比直角坐标系，在极坐标中一个点的表达是唯一的么？

给定（ρ，θ）就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M；给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。∈

（5）为什么？

极坐标（ρ，θ），（ρ，θ+2kπ）(kZ)表示的是同一个点

2、例题引入问题：

例1：在一次军事演习中，蓝军指挥阵地发现正北方向3km处有红军辎重部队出没。随即指挥正西方向3km处的炮兵进行攻击，问炮兵应以什么方向射击，射击距离为多少？

以往我们常利用直角坐标系，对问题进行分析，但是从问题来看，似乎利用我们新学的极坐

标更为方便。请同学们尝试建立直角坐标系分析问题，然后思考，有没有可能将问题用极坐标系分析？

二、极坐标和直角坐标的互化：

1、猜想与探究：

（1）想要转化直角坐标和极坐标，我们先要构建坐标系。请参照极坐标的建立的方法，尝试在同一平面中构建极坐标系。

极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，长度单位保持一致，角度单位用弧度制，正方向取逆时针方向；

（2）请同学们仿照例1的方法建立极坐标系，完成以下例题。同时思考：如何将极坐标（ρ，θ）转化为直角坐标（x，y）? 例2：将以下极坐标转化为直角坐标。

M1(5,73)

M2(6,)

M3(25,)

362

M3(0,25)

答案：M1(,553)

M2(33,3)

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作法：连接M1O，过M1作X轴的垂线交X轴于点A，垂足为A；∠M1OA即为θ，M1O即为ρ；在直角三角形M1OA中，有OAcos，AMsin

（3）根据以上习题，我们可以列出直角坐标（x，y）与极坐标（ρ，θ）的等量关系：

xcos，ysin

那么，又如何将直角坐标（x，y）转化为极坐标（ρ，θ）？带着这个问题我们来看例3 例3：将以下直角坐标化为极坐标。

M1(3,1)

答案：M1(2,M2(1,3) M3(26,62)

M4(33,M4(0,33)

417)

M2(2,)

M3(16,)

31262)

利用公式：xcos，ysin

可以得到：2x2y2，tanyx0

x（4）思考：如何确定？当tan不存在时如何处理？

根据直角坐标所在象限（任意角）

(2k,2k)x0,y02(2k,(2k1))x0,y02

3((2k1),2k)x0,y023(2k,2(k1))x0,y02

（5）小结：互化公式的三个前提条件：

1、极点与直角坐标系的原点重合；

2、极轴与直角坐标系的X轴的正半轴重合；

3、两种坐标系的单位长度相同。

2、思考和提高

（1）完成以下例题，并思考：如何利用极坐标转化为直角坐标的方式解题？能否直接利用极坐标解题？

备选题：

例4：已知点A，B的极坐标分别是(3,)和(23,)，则A和B之间的距离为多少？

36例5：在极坐标系中，点A(222,)，B(,)，则线段AB中点的极坐标为多少？

2623例6：已知在极坐标中A(6,73)，B(3,)，求|AB|，判断SABO的形状并求出面积。

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（三）教学课后记

一、学生反馈：对于三角函数的定义，部分学生需要时间回忆，因此需要在教学前进行针对性复习；在此之上，大部分学生初次接触新的坐标系，需要转化思想，将极坐标中的ρ，θ两个实数进行几何上的对应。

二、教学反思：对于极直互化，其真正的意义在于极直方程的转化，需要在本课时的教学中奠定好转化的思维基础：

1、选课题应该注意其是否何时做课。本节课的目的在于学会极直互化，主要手法是利用公式转化，但是学生不用公式照样也可以做得，所以一旦讲不好，反效果很明显。

2、极直互化的前提应该直接口述引出；

3、在引导三角函数定义的时候，还是应该举例说明对任意角的适用性（为什么极径等于半径，极角等于角度？）

4、公式还应该着重强调，不要因写错而误导学生用错公式；直化极中多引导用正弦余弦，正切影响学生的解题。

5、主次重点需要分清，重点公式应该反复强调。