三元一次方程组的解法2优质课教案整理

人教版初一数学下册第1讲

第12讲

三元一次方程组的解法

浏阳市集里中学 丁婧

教学目标：

1、了解三元一次方程组的概念. 2、会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．

3、掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路．

教学重点：1、使学生会解简单的三元一次方程组．

2、通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．

教学难点：针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法. 【知识框架】

教学过程

一、课堂导入

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复习：消元法解二元一次方程组

实际问题与二元一次方程组

预习：创设情景，导入新课

前面我们学习了二元一次方程组的解法，有些实际问题可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解。实际上，有不少问题中会含有更多的未知数，对于这样的问题，我们将如何来解决呢？

二、知识讲解

考点1 三元一次方程组

1、三元一次方程组的概念：方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 2、解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．

即三元一次方程组

消元

二元一次方程组

消元一元一次方程

考点2 解三元一次方程组

怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？

例 .解方程组

①xyz12x2y5z22②x4y③

分析1：发现三个方程中x的系数都是1，因此确定用减法“消x”. 分析2：方程③是关于x的表达式，确定“消x”的目标. 考点3 解三元一次方程组

根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型一：有表达式，用代入法.

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针对上面的例题进而分析，例1中方程③中缺z,因此利用①、②消z,可达到消元构成二元一次方程组的目的. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组

类型二：缺某元，消某元. 教师提示：当然我们还可以通过消掉未知项y来达到将“三元”转化为“二元”目的，同学可以课下自行尝试一下. 三、例题精析

【例题1】

小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．

【答案】

设1元，2元，5元的张数为x张，y张，z张. 根据题意列方程组为：

xyz12,x2y5z22,x4y.

【解析】

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【例题2】

x＝2，判断y＝－3，z＝－3

x＋y－2z＝5，是不是方程组2x－y＋z＝4，2x＋y－3z＝10

的解．

答：__________(填是或不是)．

【答案】是

x＝2，【解析】

把y＝－3，z＝－3

代入方程组的三个方程中检验，能使三个方程的左右两边都相等，所以是方程组的解．

【例题3】

下列方程组是三元一次方程组的是（ ）

xy7xxy4xyz20xy20A、xyz B、xz5 C、 D、22x3y60xyyz62x5x4y1

【答案】B. 【解析】由三元一次方程组的定义可知选B

【例题4】

x＋3y＋2z＝2，解方程组 3x＋2y－4z＝3，2x－y＝7.

①②

③

【答案】

①×2＋②，得5x＋8y＝7，④

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解③，④组成的方程组

2x－y＝7，5x＋8y＝7.

x＝3，解这个方程组，得y＝－1.

把x＝3，y＝－1代入①，得z＝1，

x＝3，所以原方程组的解为y＝－1，z＝1.

【解析】观察方程组中每个方程的特征可知，方程③不含有字母z，而①，②中的未知数z的系数成倍数关系，故可用加减消元法消去字母z，然后将所得的方程与③组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即可得到原方程组的解.

四、课堂应用

基础：

3xy2z31. 解方程组:2xy4z11,若要使运算简便，消元的方法应选取_____. 7xy5z1A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.以上说法都不对

5x4yz02. 三元一次方程组3xy4z11, 消去未知数z后，得到的二元一次方程组是( ) xyz24x3y24x3y2A.

 B. 

7x5y323x17y11C. 

答案与解析

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3x4y23x4y2 D. 

7x5y323x17y11

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1.【答案】

B.

【解析】方程①+②可直接消去未知数y，

②-③也可直接消去y，

那么即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，

∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y，

故选B．

2.【答案】

A.

【解析】

解答如下：根据题意得：

5x4yz0①三元一次方程组3xy4z11②, 经过①-③和③×4+②消去未知数z后，得到xyz2③4x3y2的二元一次方程组是

 故答案为：A. 7x5y3巩固：

5x－15y＋4z＝38，①1. 解方程组x－3y＋2z＝10， ②7x－9y＋14z＝58. ③

2. 某个三位数是它各位数字和的27倍，已知百位数字与个位数字之和比十位数字大1，再把这个三位数的百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的三位数，新三位数比原三位数大99，求原来的三位数．

答案与解析

1.【答案】由①，得5(x－3y＋2z)－6z＝38，④

把②

整体代入④，得5×10－6z＝38. 解这个方程，得z＝2，

把z＝2分别代入①，②中，得

5x－15y＝30，7x－9y＝30.

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x＝3，解⑤，得y＝－1.

x＝3， 所以原方程组的解是y＝－1，z＝2.

【解析】经观察发现①中的5x－15y＝5(x－3y)，这就与②有了联系，因此，①可化为5(x－3y＋2z)－6z＝38，把②整体代入该方程中，可求出z的值，从而易得x与y的值．

2.【答案】

设百位数字为a、十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为100a＋10b＋c，由题意，得

a＋c＝b＋1，100a＋10b＋c，27a＋b＋c100a＋10b＋c＋99＝100c＋10b＋a.a＝2，解这个方程组，得b＝4，c＝3.

a－b＋c＝1，化简，得－73a＋17b＋26c＝0，a－c＝－1.

答：原来的三位数是243.

【解析】注意三位数的设法即可．

提高：

3xyz10①1. 解方程组：x2yz6②．

xy2z17③2. 已知：4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0，且x，y，z都不为零．求答案与解析

3x2yz的值．

x2y3zx31.【答案】y4

z5【解析】试题分析：①+②消去z得到一个方程，记作④，②×2+③消去z得到另一个方程，记作⑤，两方程联立消去y求出x的值，将x的值代入④求出y的值，将x、y的值代入

③求出z的值，即可得到原方程组的解．

试题解析：①+②得：4x+y=16 ④，②×2+③得：3x+5y=29⑤，

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4xy16④⑤组成方程组

3x5y29解得x3

y4将x=3，y=4代入③得：z=5，

x3则方程组的解为y4．

z52.【答案】7

5【解析】试题分析：已知4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0，将这两个方程联立组成方程组4x3y6z0x3z3x2yz，解得，把x=3z，y=2z代入即可得的值．

x2y3zx2y7z0y2z解：解关于x、y的二元一次方程组把x=3z，y=2z代入得原式=4x3y6z0x3z得，

x2y7z0y2z9z4zz7．

3z4z3z5五、课堂小结

本节课主要讲解三元一次方程组的概念以及利用消元的方法解三元一次方程组，注意计算中找到最佳解决途径. 六、拓展延伸

基础：

1. 解下面的三元一次方程组：

xyz12x2y5z22x4y

x2y2a2.当a=__________时，方程组的解x、y的值互为相反数．

2x5ya6

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答案与解析

1.【答案】解：用方程②－①，②－③，消去x得到方程组

y4z10y2, 解得

6y5z22z2x8带回原方程组解得 y2

z2x8故答案为：

y2

z22.【答案】6.

【解析】

解：∵x、y的值互为相反数，

∴ y=-x，

即原方程组可化为得-2a+a+6=0，

解得a=6．

x2x2a，

2x5xa6巩固：

1. 解方程组: 3x－y＝－7，y＋4z＝3，2x－2z＝－5.

①②③

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3x2yz6axby2cz22. 方程组6xy2z2与关于x、y、z的方程2ax3by4cz1的解相同, 求6x2y5z33ax3by5cz1a,b,c的值.

答案与解析

1.【答案】①＋②得3x＋4z＝－4.④

④＋③×2得x＝－2. 把x＝－2代入①得y＝1. 1把x＝－2代入③得z＝. 2x＝－2，y＝1，所以1z＝2.

3x2yz6(1)2. 【答案】解:6xy2z2(2), 6x2y5z3(3)(1)+(3)得:3x2z3(4) , (1)+(2)×2得:15x3z2(5), (4)×5-(5)得:13z13,即,z1

把z1代入(4)得:x把x1, 31,z1代入(1)得:y2, 313a2b2c212把x,y2,z=1代入得:a6b4c1, 33a6b5c1

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计算得出:a9,b1,c1.

2提高：

xy51. 已知三元一次方程组xz1．

y2z3（1）求该方程组的解；

（2）若该方程组的解使ax+2y+z＜0成立，求整数a的最大值．

xy8①,19942. 解方程组yz6②,并求mx＋2y－z＝10中m的值．

zx4③,

答案与解析

x21.【答案】(1)y3；

（2）﹣2．

z3

xy5①【分析】解：（1）xz1②，

y2z3③①﹣②得：y﹣z=6④，

③与④组成二元一次方程组y2z3，

yz6解得：y3；

z3把y=3代入①，解得x=2，

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x2所以三元一次方程组的解为y3；

z3（2）∵

该方程组的解使ax+2y+z＜0成立，

∴ 2a+6﹣3＜0，

∴ a＜3，

213

∴

整数a的最大值为﹣2．

2.【答案】

【分析】①＋②＋③，得2（x＋y＋z）＝18，所以x＋y＋z＝9 ④，

x3,用④式分别减去①、②、③三个式子，得y5,

z1.x3,把y5,代入含m的方程中，得3m＋2×5－1＝10，

z1解得m

1．

3

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