*5 一元二次方程的根与系数的关系教学实录与评析

2.5 一元二次方程的根与系数的关系

清镇市犁倭中学

罗国发

一、学生情况分析

在学习本节课之前，学生已经了解了什么是一元二次方程，并学会了解一元二次方程的方法，熟记了一元二次方程的求根公式，为本节课的学习打下了基础。

二、教学目标分析

（一）学习目标

1、掌握掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。

2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数。

3、会求已知方程的两根的倒数和、平方和、两根的差。

4、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。

（二）教学重点

掌握一元二次方程根与系数的关系，并应该该关系解决实际问题。

（三）教学难点

运用一元二次方程的根与系数的关系

三、教学时间安排

约1课时

1

四、教学过程设计

第一环节：课前挑战

1、若一元二次方程x2－4x+2=0的两个根是x1、x2，求下面各式的值。

(1)

(x1+x2)2

问：解决这两个问题，你会用什么方法？大约需要多少时间？

问：如果我说通过本节课的学习之后，解决这个问题，只需要不到十秒钟的时间，大家相信吗？

设计目的：让学生通过实际挑战习题，感受使用“解方程——将方程的根代入计算”的解题方法费时费力。最后在老师“解决此问题只需要十秒钟的时间”的诱惑下来学习本节新课，增加学生的学习兴趣。

第二环节：探索新知

1、用合适的方法快速求出方程的解，并求出方程的两根之和和两根之积。

方程

x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 x2+9x +18=0 分组讨论：

x1

x1=-4

x1= 3 x1= -3

x2

x2=1

x2=2

x2=-6 x1+x2 3 5 -9 x1x2 -4 6 18

(2)

2 x1 · x2

2

（1）观察x1+x2与x1

· x2的值，它们与一元二次方程的系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？

（2）观察x1+x2与x1

· x2的值，它们与一元二次方程的系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？

2、让我们换一组方程，看看是不是所有的一元二次方程根与系数，都具有相同的关系？

方程

2x2+7x+3=0 3x2+2x-5=0 2x2-6x +4=0

x1

x1=-

x1= 1 x1= 1

x2

x2=-3

x2= -

x2=2 3 x1+x2

2 x1x2

3、总结猜想：学生分组讨论，总结归纳发现的规律。各组推荐学生发言。

设计目的：通过计算、对比一元二次方程的两根与系数的关系，由易到难，逐层加深难度，逐步对找出的规律进行完善。让学生在整个探究过程中都能收到成功的喜悦，也能找到再努力的方向。

4、证明规律：你能证明你猜想的规律吗？

（1）由一元二次方程的求根公式，可知一元二次方程的两个根是多少？

（2）将方程的两根相加、相乘各得什么结果？

第三环节：总结归纳

3

1、一元二次方程的根与系数的关系

(1) 若一元二次方程a2x+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则：

x1x2b

a

x1x2ca

(2)该性质也称为韦达定理。

第四环节：课堂实战

1、根据根与系数的关系，快速求出下面方程的两根之和与两根之积。

（1）x2-2x-15=0

x1+x2= ________ x1x2= _________ （2）2x2+3x=5

x1+x2= ________

x1x2= _________ （3）3x2-2x= x-6

x1+x2= ________

x1x2= __________ （4）2x2=5

x1+x2= _________ x1x2= _________ 2、已知方程x2-2x-7=0的一个根为3,求它的另一个根。

3

3、已知方程2x2+kx-4=0的一个根为-4，求它的另一个根及k的值。

第五环节：回顾拓展

1、在掌握了一元二次方程根与系数的关系后，看看课前的问

4

题十秒钟能否解决？

若一元二次方程x2－4x+2=0的两个根是x1、x2，求下面各式的值。

(1)

(x1+x2)2

2、在题1的基础上，能求下面代数式的值吗？

(3)

x12+x22

(4)

3、若一元二次方程x2+ax+2=0的两根满足x12+x22＝12，求a的值。

第六环节：课堂总结

1、在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c有哪些作用？

（1）二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；

（2）当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；

（3）当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况

5

(2)

2 x1 · x2

11x1x2

（4）当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=

b，x1x2= c

aa（5）当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。

设计目的：鼓励学生回顾本节课知识，以及与之相关的知识内容，进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。

第七环节：课后练习或作业

1、已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k=0的两个根，三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长。

2、变式训练：已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k=0的两个根，三角形的第三条边c能等于15吗？

3、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3。

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