一元二次方程的根的判别式优秀教案内容

《一元二次方程根的判别式》教学设计

一、知识要点：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是用来判别一元二次方程根的情况的；即

方程有两个不同的实数根；

方程有两个相同的实数根；

方程无实数根。

2、（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=

，x1x2=

。

（2）以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

。

二、典例精析：

一元二次方程根的判别式

例1、不解方程，判断关于x的方程(6m-1)x2+6 mx+2=0的根的情况。

[跟踪练习] 1、不解方程判断下列方程的根的情况

（1）2x2+3x-4=0

（2）3x2+x+5=0

（4）7x2+(m+5)x+m-6=0

例2、若关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个实数根，求m的取值范围。

[跟踪练习] 已知关于x的方程(m-1)x2+2(m+2)x+m=0，根据下列条件求实数m的取值范围：

（1）有两个不相等的实数根；

（2）有两个相等的实数根；

（3）有两个实数根；

（4）没有实数根；

（5）有实数根。

[拓展研究] 例3、已知：方程x2-2ax+a2-a-1=0有两个实数根，化简

。

[跟踪练习] 已知关于x的方程

有两个不相等的实数根。

（1）求m的取值范围；

（2）化简

。

例4、已知a、b、c分别为△ABC三条边的长，并且关于x的二次方程2ax2+2bx+c=0有两个相等的实数根，当∠B=90o时试判断△ABC的形状。

例5、已知x2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必定有两个不相等的实数根。

同步练习：

1、（2009上海金山）下列一元二次方程没有实数解的是（

）

A、x2-2x-1=0

B、(x-1)(x-3)=0

C、x2-2=0

D、x2+x+1=0 2、（2008四川）已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整

数值是（

）

A、-2

B、-1

C、0

D、1 3、（2009北京石景山）若关于x的方程2x2-ax+a-2=0有两个相等的实数根，则a的值是

。

4、（2008天津）已知关于x的一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是

。

5、（2008浙江宁波）已知：关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0 （1）当m取何值时，方程有两个实数根；

（2）当m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根。

一元二次方程根与系数的关系

例1、设x1，x2是方程x2-6x+3=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值。

（1）x1+x2

（2）x1x2

（3）x12+x22

（4）

（5）|x1-x2| [跟踪练习] 若方程2x2-2x-1=0的两根为α、β，不解方程，求①α+β=

，②αβ=

，③α2+β2=

。

例2、已知方程2x2+kx-8=0的一个根是

，求另一个根及k的值。

[跟踪练习] 已知一元二次方程x2+4x-m=0的一个根为

，则另一个根是

，且m=

。

例3、已知关于x的方程2x2-mx-2m+1=0的两个实数的平方和等于

，求m的值。

[跟踪练习] 1、（2007重庆市）已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x-m2=0的两个不相等的实数根为α、β，满足

，求m的值。

2、已知方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根且这两个实数根的平方和比两个实数根的积大21，求m的值。

例4、已知一元二次方程的根为3，-4，求这个方程。

[跟踪练习] 已知一元二次方程的根为-1，2，求这个方程。

例5、（2006青岛市）已知α2+α-1=0，β2+β-1=0且α≠β，则αβ+α+β的值为

。

同步练习：

1、（2009兰州）若x1，x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，则

的值为

。

2、（2008成都）已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx-1=0的一个根，则实数k的值是

。

3、（2007锦州）设方程x2+x-2=0的两个根为α、β，则（α-1）（β-1）的值等于

。

4、已知

是关于x的方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值是

。

5、若方程组

的解是某个一元二次方程的两个根，则这个一元二次方程是

。

6、已知一元二次方程x2-2x+m-1=0。

（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根。

（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且满足x12+x1x2=1，求m的值。