习题教学实录

传送带问题剖析

一、

传送带水平放置

设传送带的速度为V带，物体与传送带之间的动摩擦因数为μ，两定滑轮之间的距离为L，物体置于传送带一端的初速度为V0 。

1、V0＝0，（如图1）物体刚置于传送带上时由于受摩擦力作用，将做a =μg的加速运动。假定物体从开始置于传送带上一直加速到离开传送带，则其离开传送带时的速度为

V＝2gL，显然有：

m V带＜2gL

时，物体在传送带上将先加速，后匀速。

V带

≥2gL时，物体在传送带上将一直加速。

2、 V0≠ 0，且V0与V带

同向，（如图2）

（1）V0＜V带时同理上可知，物体刚运动到带上时，将做a =μg 的匀加速运动，假定物体一直加速到离开传送带，则其离开传送带时的2速度为V＝

V02gL，显然有：

V0=0

V带

L 图1

V0

m V带

L 图2

V0＜V带＜2V02gL

时，物体在传送带上将先加速后匀速。

2 V带

≥V02gL

时，物体在传送带上将一直加速。

（2）V0＞V带时

因V0＞V带，物体刚运动到传送带时，将做加速度大小为a = μg的减速运动，假定物体一直减速到离开传送带，则其离开传送带时的速度为

2V＝V02gL

，显然：

2 V带

≤V02gL时，物体在传送带上将一直减速。 2V0

＞V带＞V02gL

时，物体在传送带上将先减速后匀速。

3、 V0≠ 0，且V0与V带反向，（如图3）

此种情形下，物体刚运动到传送带上时将做加速度大小为μg 的减速运动，假定物体一直减速到离开传送带，则其离开传送带时的速度为V＝2V0V0

m V带

L 图3 ≥ 0，即V0≥2gL时，物体将一直做减速运动2gL

，显然：

V 直到从传送带的另一端离开传送带。

V＜0，即V0＜2gL时，物体将不会从传送带的另一端离开而从进入端离开，其可能的运动情形有：

a、V0＜V带时，先沿V0方向减速，再反向加速直至以V0的速度从放入端离开传送带

b、V0＞V带时，先沿V0方向减速，再沿V0反向加速，最后以V带的速度匀速直至从放入端离开传送带。

（以上情形也可用另一种思路，先求出物块相对于皮带静止时相对位移，然后比较此相对位移与皮

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带长，进一步判断物块的运动情况而分析问题。）

二、传送带斜置

设传送带两定滑轮间的距离为L，带与水平面的夹角为θ

，物与带之间的动摩擦因数为μ，物体置于带的一端，初速度为V0，传送带的速度为V带。

1、V0＝0，（如图4）

V0

物体刚放到带的下端时，因V0＝0，则其受力如图所示，显然m 只有f - mgsinθ>0，即μ>tanθ时，物体才会被传送带带动从V带

而向上做加速运动，且a=μgcosθ－gsinθ，假定物体一直加速θ

度运动到上端，则物体在离开传送带时的速度为L V=2(gcosgsin)L，显然：

V带＜2(gcosgsin)L时，物体在传送带上将先加速后匀速直至从上端离开。

V带≥2(gcosgsin)L时，物体在传送带上将一直加速直至从上端离开。

2、 V0≠ 0，且V0与V带同向，（如图5）

V0＜V带时，

a、

μ>tgθ，物体刚运动到带上时，因V0

2图4 V0

m V带

θ

L 图5 V0V带＜V02＋（2gcosgsin)L先加速后匀速直至离开传送带上端。

时，物体在传送带上将V带V02＋（2gcosgsim)L

时，物体将在传送带上一直加速直至离开传送带上端。

b、μ＜tgθ

物体刚运动到带上时，因V0＜V带，物体将做加速度大小为a＝gsinθ－μgcosθ的减速运动。假定物体一直做减速运动到直至离开传送带，则物体离开传送带上端时速2gsingcos)L

，显然：

度为V＝V02（

V≥0，即V0≥2(gsingcos)L时，物体在传送带上将一直减速运动直至从装置的上端离开

V＜0，即V0＜2(gsingcos)L时，物体在传送带上将先向上做大小为a＝gsinθ－μgcosθ的减速运动，后向下做加速度大小为a＝gsinθ－μgcosθ的加速运动直至离开装置的下端。

② V0＞V带时

a、μ>tgθ，物体刚运动到带上时，因V0＞V带，故物体将做加速度大小为a＝gsinθ＋μgcosθ的减速运动，假定物体一直做减速运动，则物体离开传送带时速度为V＝V022(gsingcos)L，显然：

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V带

≤V022(gsingcos)L时，物体将一直减速直至离开传送带上端。

V0＞V带＞V022(gsingcos)L时，物体将先做减速运动后做匀速运动直至离开传送带上端。

b、μ＜tgθ

，物体刚运动到带上时，因V0＞V带，故物体将做加速度大小为a＝gsinθ＋μgcosθ的减速运动。假定物体一直做减速运动，则物体离开传送带上端时速度为V＝V022(gsingcos)L，显然：

V带

≤V022(gsingcos)L时，物体将一直减速直至离开传送带上端。

V0＞V带＞V022(gsingcos)L

时，物体运动较为复杂。物体刚开始滑上传送带时，因物体速度大于V带，故物体做a＝gsinθ＋μgcosθ的减速运动，当物体速度减小到等于V带时，由于继续减速其速度将小于V带，此后加速大小变为a＝gsinθ－μgcosθ，但是只要其滑上传送带的初速度V0＞2(gsingcos)L，就一定能从传送带的上端滑出。

若V0＜2(gsingcos)L，则物体有下列两种可能的运动情形。一是先向上做大小为a＝gsinθ＋μgcosθ的减速运动，后向上做大小为a＝gsinθ－μgcosθ的减速运动，直至离开传送带上端。另一种情形是先向上做大小为a＝gsinθ＋μgcosθ的减速运动，再向上做大小为a＝gsinθ－μgcosθ的减速运动，最后向下做为a＝gsinθ－μgcosθ的加速运动直至从下端传送带离开。

V0

3、V0≠ 0，且V0与V带反向

m 物体刚运动到传送带下端时，物体将做加速度大小为a＝gsinθV带

＋μgcosθ的减速运动，假定物体一直减速，则其离开上端时速度θ

L 大小为V＝V022(gsingcos)L，显然：

图6

当V≥0 ，即V0≥2(gsingcos)L时，不论μ为何值，物体将一直减速直至离开传送带上端

当V＜0，即V0＜2(gsingcos)L时，则在μ ≥tgθ时，物体将先向上减速后向下匀速直至从下端离开；在μ＜tgθ时，物体将先向上以a＝gsinθ＋μgcosθ做减速运动，后向下做a＝gsinθ－μgcosθ的加速运动直至离开传送带下端。

上面我们依据牛顿运动定律对物体在传送带上的运动特征进行了分析，实际上我们还可据能量观点对其进行分析，限于篇幅，本文在这里不再赘述。 小结

一、传送带模型中要注意摩擦力的突变，物体与传送带速度相等时物体受到的摩擦力会发生突变，有时摩擦力的大小发生突变（传送带水平放置）有时是摩擦力的方向发生突变（传送带倾斜放置）

①滑动摩擦力消失

②滑动摩擦力突变为静摩擦力

③滑动摩擦力改变方向

二、传送带模型的一般解法

①确定研究对象；

②分析其受力情况和运动情况，（画出受力分析图和运动情景图），注意摩擦力突变对物体运动的

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影响；

③分清楚研究过程，利用牛顿运动定律和运动学规律求解未知量。

例13、如图18所示，某工厂用水平传送带传送零件，设两轮子圆心的距离为S，传送带与零件间的动摩擦因数为μ，传送带的速度恒为V，在P点轻放一质量P Q 为m的零件，并使被传送到右边的Q处。设零件运动的后一段与传V 送带之间无滑动，则传送所需时间为 ，摩擦力对零件做功为 . S 分析与解：刚放在传送带上的零件，起初有个靠滑动摩擦力图18 加速的过程，当速度增加到与传送带速度相同时，物体与传送带间无相对运动，摩擦力大小由f=μmg突变为零，此后以速度V走完余下距离。

VV121V2由于f=μmg=ma,所以a=μg.

加速时间t1

加速位移S1at1

ag22g通过余下距离所用时间t2摩擦力对零件做功

WSS1SSVV

共用时间tt1t2

V2gVV2g1mV2

2例14、如图19所示，传送

A

N

a1

ｏ带与地面的倾角θ=37，从

N

f2

A到B的长度为16ｍ，传送

B

a2

带以V0=10m/s的速度逆时

f1

针转动。在传送带上端无初

ω

mg

mg

速的放一个质量为0.5㎏的(a) 物体，它与传送带之间的动

(b)

图20 图19 摩擦因数μ=0.5，求物体从A

运动到B所需的时间是多ｏｏ少？(sin37=0.6,cos37=0.8)

分析与解：物体放在传送带上后，开始阶段，传送带的速度大于物体的速度，传送带给物体一沿斜面向下的滑动摩擦力，物体由静止开始加速下滑，受力分析如图20（a）所示；当物体加速至与传送带速度相等时，由于μ＜tanθ，物体在重力作用下将继续加速，此后物体的速度大于传送带的速度，传送带给物体沿传送带向上的滑动摩擦力，但合力沿传送带向下，物体继续加速下滑，受力分析如图20(b)所示。综上可知，滑动摩擦力的方向在获得共同速度的瞬间发生了“突变” 。

开始阶段由牛顿第二定律得:ｍｇsinθ＋μｍｇcosθ=ｍa1; 2所以:a1=ｇsinθ＋µｇcosθ=10m/s; 物体加速至与传送带速度相等时需要的时间ｔ1＝ｖ／a1＝1s;发生的位移：

2ｓ＝a1ｔ1/2＝5ｍ＜16ｍ;物体加速到10m/s 时仍未到达B点。

2第二阶段，有：ｍｇsinθ－µｍｇcosθ＝ｍa2 ;所以：a2＝2m/s ;设第二阶段物体滑动到B 的2/时间为t2

则：LAB－S＝ｖｔ2＋a２ｔ2/2 ；解得：t2＝1s , ｔ2=-11s （舍去）。故物体经历的总时间ｔ=t1＋t 2 =2s . 从上述例题可以总结出，皮带传送物体所受摩擦力可能发生突变，不论是其大小的突变，还是其方向的突变，都发生在物体的速度与传送带速度相等的时刻。

2003年高考传送带题

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一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆孤形（圆孤由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，L D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P. 解：以地面为参考系（下同），设传送带的运动速度为v0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为s，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有sA B C L D 12at2① v0at② 在这段时间内，传送带运动的路程为s0v0t

③ 由以上可得s02s④

用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为Afx传送带克服小箱对它的摩擦力做功A0fx02两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量

Q12mv0⑤

212mv0⑥

212mv0 ⑦ 2可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。T时间内，电动机输出的功为

WPT

⑧ 此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即

W12Nmv0NmghNQ ⑨ 已知相邻两小箱的距离为L，所以

v0TNL⑩

2TT22联立⑦⑧⑨⑩，得PNm[NLgh]

⑾

2平时训练传送带题

如图所示，倾角=37°的传送带上，上、下两端相距S=7m。当传送带以u4m/s的恒定速率逆时针转动时，将一个与传送带间动摩擦因数=0.25的物块P轻放于A端，P从A端运动到B端所需的时间是多少？若传送带顺时针转动，P从A端运动到B端的时间又是多少？

解答：当传送带逆时转动时，P下滑的加速度设为a1，则有

θ(

- 5 - A

P B

mgsinmgcosma1解得a1gsingcos4m/s2

从A 到B的时间t12s7s当传送带顺时针转动时，设P初始下滑的加速度为a2，则有

a12解得a2gsingcos8m/s2

mgsinmgcosma2当P加速到4m/s时P对地发生的位移S122a21m7m ，

此后P，继续加速下滑，设加速度为a2所以

a24m/s滑到B端时的速度

有mgsinmgcosma2(ss1)8m/s

122a2前一段加速滑下时间t12a20.5s后一段加速滑下时间t2v1v1s

a2P从A到B总时间tt1t21.5s

16、如图所示为车站使用的水平传送带的模型，它的水平传送带的长度为L＝8m，传送带的皮带轮的半径均为R＝0.2m，传送带的上部距地面的高度为h＝0.45m，现有一个旅行包（视为质点）以v0＝10m/s的初速度水平地滑上水平传送带．已知旅行包与皮带之间的动摩擦因数为μ＝0.6．本题中g取10m/s2．试讨论下列问题：

⑴若传送带静止，旅行包滑到B端时，人若没有及时取下，旅行包将从B端滑落．则包的落地点距B端的水平距离为多少？

⑵设皮带轮顺时针匀速转动，并设水平传送带长度仍为8m，旅行包滑上传送带的初速度恒为10m/s．当皮带轮的角速度ω值在什么范围内，旅行包落地点距B端的水平距离始终为⑴中所求的水平距离？若皮带轮的角速度ω1=40 rad/s，旅行包落地点距B端的水平距离又是多少？

⑶设皮带轮以不同的角速度顺时针匀速转动，画出旅行包落地点距B端的水平距离s 随皮带轮的角速度ω变化的图象．

来源:Z|xx|k.Com]

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