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《实数》小结与复习教学案

教学目标

1. 进一步巩固实数的定义性质及其运算规律。

2. 熟练使用计算器求一些数值的估算值。

3. 能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高对知识的应用能力。

重点：无理数、平方根、算术平方根、立方根及实数的定义与性质，以及实数的运算法则。

难点：利用平方根、算术平方根、立方根及实数运算法则的进行有关计算题目，特别是平

方根与算术平方根的不同之处。

教学过程

本章的知识网络结构：

知识梳理

一．数的开方主要知识点：

【1】平方根：

1.如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当xa(a0)时，我们称x是a的平方根，记做：xa(a0)。因此：

2.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；

3.当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：2

xa。

当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。

例1. （1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；

（2） 的平方根是它本身。

（3）若x的平方根是±2，则x=

；16的平方根是 （4）当x 时，3－2x有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？

【算术平方根】：

21.如果一个正数x的平方等于a，即xa，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“a”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。

2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：a0(a0)。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：例2. （1）下列说法正确的是 （ ）

A．1的立方根是1B．42C.81的平方根是3D.0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）

A.819 B.3.143.14 C.2793 D.532（3）(3)的算术平方根是 。

a。

2

（4）若xx有意义，则x1___________。

（5）已知△ABC的三边分别是a,b,c,且a,b满足a3(b4)20，求c的取值范围。

【立方根】

1.如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：3a，读作，3次根号a。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。

2.平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。

例3. （1）64的立方根是

（2）若3a2.89,3ab28.9，则b等于（ ）

A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000 3（3）下列说法中：①3都是27的立方根，②3yy，③64的立方根是2，④3824。

其中正确的有 （ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

【无理数】

1.无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2. 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③57、④π、⑤2.25、⑥2、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有3＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序号）

（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,4,32其中无理数有 ( )个

A 2 B 3 C 4 D 5 【实数】

1.有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对

值最小的实数是0，最大的负整数是-1。

2.实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0）；实数a的绝对值|a|=1aa(a0)，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。

a(a0)3.实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

4.实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。

例5. （1）下列说法正确的是（ ）；

A、任何有理数均可用分数形式表示

； B、数轴上的点与有理数一一对应

；

C、1和2之间的无理数只有2

； D、不带根号的数都是有理数。

（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )

a 0 b A、ab B、ab C、ab D、ba

（3）比较大小(填“>”或“<”). 3 10， 3 320， 76______67， 151

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