猜想、证明与拓广第一课时教学设计

九上综合与实践----《综合与实践》教学设计

山东省济南育英中学 苏霞

一、

教学目标

1.知识与技能:（1）经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主

探索意识，获得探索和发现的体验. (2) 在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识. 2. 过程与方法：在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性. 3.情感、态度与价值观：在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力. 4.数学活动经验：通过对一个开放性、探究性的课题的不断探索，经历实验、猜想、修正、证明、拓广等数学活动，积累研究数学问题的经验和方法. 二、

教学重点难点 (1) 重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法. (2) 难点:不断发现问题、提出问题、解决问题的策略和方法. 三、教学设计

1.创设情境，引入新课

（多媒体小视频）著名的七桥问题：一个步行者能否不重复、

不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点.伟大的数学家欧拉通过研究认为他是否定的，但欧拉并没有停止研究的脚步，而是进一步的改变其中的条件，继续研究，把它拓广成一个几何问题----一笔画问题.在这个问题的启发下，开创了数学新一分支---拓扑学.而拓扑学现在被广泛的应用在物理和化学等学科.那我们也继续探索的脚步，进行这节课的猜想、证明与拓广（板书课题）

2.探究活动一：初步感知探究模式

问题一：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍. 先由学生直观感受判断是否存在，然后请同学谈一谈自己的想法，并说明理由.引导学生先举例验证是否存在，然后猜想结论是：一定不存在. 教师追问：举例验证的结论就一定正确吗？请同学证明自己的猜想. 教师总结学生的方法：（多媒体展示）

解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,若面积变为2a2,则其边长应为形的周长的2倍. 同时也可以利用相似图形面积比是相似比的平方来证明，而利用相似的性质不仅仅可以解决正方形的问题，其实所有两个相似的多边形都不可能存在其中一个的周长和面积同时是另一个多边形的2倍. 探究总结：我们是如何从特殊到一般来研究问题的，引入可以借助代替所有数的字母或者利用已知的定理和定义来证明. 2a,此时周长应为42a,它不是已知给定的正方

3.探究活动二：运用模式尝试探索

问题二：任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍? 先由学生直观感受判断是否存在，受到第一个问题的影响，学生会认为是不存在的.引导学生列举实例进行验证，可以借助几何画板动态的演示，帮助学生纠正两个矩形相似的误区. 我们先利用实例来验证这个问题，给出三种不同的矩形，三选一，或者自己设计，以小组为单位进行讨论，选一位代表进行展示. 方法多种多样，充分展示，教师及时总结. 以长为2，宽为1的矩形为例，学生可能出现的方法有:

①先固定所求矩形的周长, 设另一个矩形的长为x，将问题化为方程x(6－x)=4是否有解的问题. ②先固定所求矩形的面积, 设另一个矩形的长为x，将问题转化为方程x4 =6是否有解的问题. x ③可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积应分别为12和4,设其长和宽分别为xxy6和y,则得方程组然后讨论它的解是否符合题意. xy4以上方法都有可以转化为一元二次方程是否有解的问题. ④可以转为函数yx6和y4两个图像交点的问题. x⑤因为周长为12的矩形面积是S，而0S9，因此存在一个面积是4的矩形.

⑥可以利用韦达定理转化为一元二次方程x26x40解的问题. 肯定学生的方法，进行总结引导学生体会数学知识之间的关系和转化. 4.探究结论的证明：证明问题二

当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论呢？

引导学生经过猜想、证明、从而推广到一般.引入字母，进行计算，以小组为单位完成.（计算难度较大，可以幻灯片展示过程）

解: 当已知矩形的长和宽分别为n和m时, 那么其周长和面积分别为2(m+n) 和 mn, 所求的矩形周长和面积为4(m+n)和2mn.设所求矩形的一边长为x,那么另一边长为2(m+n)-x,根据题意,得x[2(m+n)-x]=2mn. 整理得： x2-2(m+n)x+2mn=0 2222xmnmn,xmnmn.

解得 12经检验x1,x2符合题意,所以存在一个矩形,它的一边长为mnm2n2,

另一为 mnm2n2. 5.探究活动三：积累经验独立探究

产生新的思维碰撞，引导学生在刚才的问题基础上继续拓广，引出问题三. 问题三：任意给定一个矩形．是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半? 请学生表达自己的看法，既然任意给定一个矩形，都存在一个新矩

形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”，那么原矩形自然满足新矩形的“减半”要求，即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半． 请同学们利用前面的实例来验证自己的想法.结论是否定的，方程没有解. 是否我们就可以下结论一定不存在呢？激发学生思考.可以给学生存在的实例，如长是7，宽是1. 那么满足怎样的而条件才是存在的呢？

我们也可以类比上个问题，把它转化成一元二次方程是否有解的问题. 解：设已知矩形的长和宽分别为n，m，所求矩形的长为x，宽为[(m+n)-x]，那么x[(m+n)-x]＝mn，化简，得2x2-(m+n)x+mn＝0．①

(1)当△＝(m+n)2-4×2mn＝m2+n2-6mn≥0，即m2+n2≥6mn时，方程①有解所以当已知矩形的长和宽为m和n时．如果m2+n2≥6mn，则存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．

(2)当△＝(m+n)2-4×2mn＝m2+n2-6mn<0．即m2+n2<6mn时，方程①无解，所以当已知矩形的长和宽为m和n时，如果m2+n2<6mn，则存在一个新矩形．它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．

探究结论：

很多数学问题有时仅仅凭实例是不能说明其成立性的，因此我们要证明.激发学生思考提出更多的猜想. 7.课堂小结：请大家谈谈本节课的收获. 121212

（1）本节课的数学知识是综合所学知识,体会知识之间的内在联系. （2）本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性. （3）体会到了数学知识之间的转化，如：几何问题转化成方程是否有解的问题. 8.课后延伸：请大家继续拓广我们本节课的结论或者提出自己的猜想，并进行一次数学研究.