复习题教案公开课一等奖

北师大版九年级上册第六章回顾与思考之

习题课：反比例函数中的面积问题

【课

型】

习题课

【授课年级】

九年级

【授课教师】

陈敏

【授课时间】2019年3月11日

【教材分析】

本节课是针对初三上册上完第六章之后，对章节进行回顾与思考后针对反比例函数中的面积问题而设计的一节习题课。在前面一节章节的回顾与思考课中，已经通过问题的形式帮助学生梳理了本章内容，建立了一定的知识体系，形成整体性的认识。在知识体系已构建的前提条件下设计两节习题课，主要引导学生能运用反比例函数的图像和性质解决一些简单的实际问题，并能掌握一些重要的数学思想方法，如数形结合，分类讨论，函数建模，方程的思想，转化的思想等。这节课的设计主要想通过反比例函数中面积问题的研究，让学生掌握解决此类问题的一般方法（即解析法）。

【学情分析】

学生在复习了反比例函数这一章的基础内容后，大多数同学对反比例函数的图像与性质有了基本的了解，会处理一些简单的问题。但对于反比例函数与几何的综合运用还掌握的不够好。希望通过这节课的复习，让学生掌握处理反比例函数中面积问题的一般方法。

【教学目标】

1．使学生通过复习能理解K的几何意义与面积的关系。

2.培养学生提取信息，找准突破口的能力，灵活运用函数关系解决几何问题的能力。

3.培养学生归纳总结的能力，并能体会数形结合的美。

【教学重难点】

1.K的几何意义与面积关系的灵活应用。

2.对于解析几何问题如何从几何与代数两个方面入手找到解决问题的突破口。

【教具准备】

学案、多媒体、翻页笔等. 【教学过程】

教学环节

复习回顾

教师活动

师：在前面的学习中，我们复习了上一节复习课，我们梳理了与反比例函数有关的基本知识，今天我们就来对反比例函数中的面积问题做一个总结。

展示PPT复习反比例函数中常见几何图形面积与K的关系

（老师边板书，边提问。）

反比例函数的概念，图像与性质。

学生活动

设计意图

学生观看展示的PPT，让学生在复习中理解K回顾反比例函数中常见几何图形的面积与K的关系以及常见的转化方式。

师生互动共同回忆基本图形的面积。

的几何意义与面积的不变性，为解决后续问题提供理论依据。

1

结论：

典例分析

例题变式1

师：请同学们看例题，先思考，有思路之后举手示意。

例：如图，在平面直角坐标系中，过函数

(x

的图像上的相异两点A,B

学生思考回答后在

结论：

结论：

鼓励学生自己思考，找到解决办法

。

通过此例，让学生结合图形掌握利用K的几何意义求相关图形面积的方法。

通过例题变式，让学生选择例题中得到的最简洁的方法来推导一般结论。让学生体会从特殊到一般的推学案上做好笔记。

分别作AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，后能用自己的语言延长CA与DB交于点E。若A是CE的中点，则四边形OAEB的面积为 。

表述出来，从而提高学生的语言组织与表达能力．

学生经过思考、交流，进一步发现此

师：当学生分享自己方法后追问其他同学有没有不同解法，再分享。

变式1：把例题中“A是CE的中点”改为“CA:AE=1:2”,此时四边形OAEB的面积为

；若改为“CA:AE=1:n”，此时四边形OAEB的面积为

。2 题中面积与线段比例的关系。

学生可通过例题的做法推导出一般的结论。

例题变式2

例题变式3 （中考再现）

3

变式2：如图，在平面直角坐标系中，过函数

(x

的图像上的相异两点

理过程，感受数学的和谐统一美。

变式2在变式1的基础上图形基本不变，条件适当改变。这样设计的目的主要为了培养学生自主发现问

题，并会分析问题中的变与不变，从而找到解决问题的方法的能力。

变式3在变式2的基础上又引入了y 轴上一点和双曲线另一支上的一点，设出B点坐标，根据三角形PBF的面积建立关于坐标的方程求解是本题的关键，那么三角形PBF的面积如何转化最简单，通过此题比例函数中一条美妙的结论AP=BG。让学生体会数学中的转化思想在解决复杂问题学生先自行思考，有思路后组内分享，并展示。

A,B分别作AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，延长CA与DB交于点E。若E的坐标为（2，3），△OAB的面积为，则k

的值是 。

师：例题中已知K的值求几何图形的面积，变式中已知三角形的面积求K，请同学们独立思考后在组内进行分享，交流后请组内代表进行方法分享。

变式3：如图，在平面直角坐标系中，连接函数

(x

的图像上的相异两点

学生在老师的引导下找出此题的解题思路，关键在于如何用坐标表示三角形PBF的面积。

通过老师的引导，学生能够逐步利用反比例函数的对称性，将三角形PFB的面积转化为三角再利用PA=BG，将三角形POB的面积转化为三角形AOG的面积，这样就可以A,B，延长BA交y 轴于点P，连接AO并延长，交函数

(x

的图像于点

,若已知A点坐标为

△PBF的面积是

8，则点B的坐标是 。 形POB面积的2倍，的设计让学生回忆反

求得点G的坐标，从而得到直线AB的解析式，再求点B的坐标。通过面积的两次转化大大简化了计算量。

学生可直接求每个小矩形的面积，也可通过数形结合，将所有阴影部分平移到一起后再求总面积。

构成的阴影部分的面积从左到右依次

鼓励学生从解题方法，数学思想和本节课运用到的美妙

结论进行总结，培学生解答完后，老师请同学分享方法。并追问，能否求

+

的值。

师：同学们，通过今天对反比例函数中4 中的妙用。

从反比例函数图像上3个点过渡到4个点，再到n个点，设计此题让学生进一步巩固对K的几何意义的理解，并能从特殊到一般进行规律探索。

方法的总结提炼是复习课中的重要环节，培养学生总结归纳的能力及灵活运用，举一反三的能力。

师：将变式2中的AB延长分别交x轴，y轴于点G，点P，连接AO并延长交双曲线另一支于点F，已知反比例函数的解析式，A点坐标以及三角形PBF的面积，如

何求点B的坐标呢？

学生解答完后，老师指出此题实质就是

2014年成都中考改编数据得来，让学生

例题变式4 体会中考题也是由基础题改编而来。

师：变式3中反比例函数图像上出现了3

个点，老师觉得点还不够，如果反比例

函数图像上有4个点或者更多的点，还

可以设计怎样的题目呢？请同学们看变式4.（展示PPT）

课堂小结

变式4：如图，在反比例函数y=（x＞0）

的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所为S1、S2、S3，则S1+S2+S3＝（

）

养学生总结归纳的能力。

课堂巩固

面积问题的探究，你有什么收获和感受呢？请学生畅所欲言发表自己的见解，对本节知识方法进行总结。

师：为了巩固本节课所学，请同学们完成学案上的练习题。

练习1.如图，已知A1，A2，A3，…An，…是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝学生独立完成，练

学生思考，在导学案上完成

通过练习，进一步加的内容。

练习1可仿照变式4完成，培养学生举一反三的能力。

练习2结合翻折的性质来考查反比例函数中的面积问题，培养学生知识的迁移能力。

练习3选择中考真题再现，让学生进一步体会解析法在反比例函数面积问题中的运用。

习1可直接对答案。

深和巩固本节课所学An﹣1An…＝1，分别过点A1，A2，A3，…An，…作x轴的垂线交反比例函数y＝

（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…，Bn，…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn．则S1+S2+S3+…+Sn＝

．

2.如图，双曲线

经过四边形OABC的顶点A，C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴负半轴的夹角，AB∥x轴．将△ABC沿AC翻折后得△AB′C，且点B′恰好落在OA上，则四边形OABC的面积为 。

5

3. (2012成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于A，B，与反比例函数

(k为常数，且k>0)在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若

= （m为

大于l的常数）．记△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则

= ______．（用

含m的代数式表示）

老师根据上课情况讲评3个练习题，灵活处理，课堂上不能完成的留作课后完成。

4个与反比例函数面积有关的综合题。

独立完成

作业布置

【教学流程图】

学以致用

开始

复习回顾

图形展示

复习旧知

6

典例分享

经典例题反复变式

师生共同学习

知识巩固

综合应用

提升能力

小结

作业

【教学板书设计】

课题：反比例函数中的面积问题

反比例函数中的面积不变性模型 例题分析简要步骤

结论：

结论：

结论： （老师提前把基本模型图画在黑板上） （由老师或者学生板书） 【教学反思】

通过前面一节课的复习，学生对反比例函数的图像与性质有了一些基本的了解。关于反比例函数与一次函数的综合问题，如求解析式，求相关图形面积，根据图形写出不等式解集等问题，班级学生已经掌握得较好；而对于填空题中常出现结合K的几何意义考查反比例函数与几何图形的综合问题或者以反比例函数为背景设计新定义问题，学生在解题方法上还没有形成思路，故在习题课中以反比例函数中的面积问题为背景设计了这节课，希望通过这节课的学习来强化学生对解析法的认识。但是，基于面积问题的模型很多，比如围矩形，围三角形，对称点，三角形叠梯形，截矩形，截直角三角形等等举不胜举，题型很多，如何选题是设计这节课我个人感觉特别困惑的

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地方。为了让学生更系统的理解解题的方法，所以采用了从一个例题出发，不断改编变式，让学生体会变化当中不变的解题思想，不断进行方法总结再回归中考的形式进行教学，希望通过这样的方式培养学生自主发现问题，分析问题，解决问题并能提出新问题再解决问题的能力。通过同学们在课堂上的反应以及课后习题的完成发现，绝大多数同学已经掌握了用解析法解决相关问题的方法，对于反比例函数中的一些特殊结论，学生也能够灵活的运用，这节复习课也就达到了预期的教学目标。在今后的教学中还要多设计这样的习题课来训练学生的思维。

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