命题、定理、证明1第一课时导学案

5.3.2

命题、定理、证明

学习目标

1．了解命题、真命题、假命题、定理、证明的含义．

2．能区分命题的题设和结论，会把一些简单命题改写成“如果……那么……”的形式．

3．初步掌握证明的方法及格式，逐步培养学生的逻辑推理能力．

重点难点

重点：命题、定理的概念；区分命题的题设和结论．

难点：1.举反例判断一个简单的命题是假命题．

2．初步掌握证明的方法及格式．

导学过程

第一环节

复习回顾

根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确．

(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．( √ ) (2)两直线平行，同位角相等．( √ ) (3)同旁内角相等，两直线平行．( × ) (4)直角都相等．( √ ) 第二环节

自主学习

1．下列语句：①若x＝3，则x2＝9；②同位角相等；③对顶角相等；④连接A，B两点．其中是命题的个数是 ( C ) A．1

D．4 2．命题“同旁内角互补，两直线平行”中，题设是同旁内角互补，结论是两直线平行，此命题是真命题．(填“真”或“假”) 3．把命题“相等的角是对顶角”改写成“如果……那么……”的形式是如果两个角相等，那么它们是对顶角．

4．以n＝3为反例，可以证明命题“若n为自然数，则2n≥n2n”为假命题．

5．请把下面证明过程补充完整．

已知：如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，求证：∠1＝∠3.

B．2

C．3

证明：因为BE平分∠ABC(已知)，

所以∠1＝∠2(角平分线的定义)．

又因为DE∥BC(已知)，

所以∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．

所以∠1＝∠3(等量代换)．

第三环节

合作探究

思考1：下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？对事情作了判断的语句是否正确？

(1)对顶角相等．

(2)画一个角等于已知角.

(3)两直线平行，同位角相等. (4)a，b两条直线平行吗？ (5)温柔的李明明. (6)玫瑰花是动物. (7)若a2＝4，求a的值. (8)若a2＝b2，则a＝b. 归纳：

1．判断一件事情的语句，叫作命题．

2．命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．

3．命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．

4．如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题．题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫假命题．

练习：

1．下列语句中：①熊猫没有翅膀；②对顶角相等；③同位角相等；④连接AB两点；⑤两条直线相交有几个交点？其中命题个数为( C ) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2．下列命题中，正确的是( A ) A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行

B．相等的角是对顶角

C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等

D．和为180°的两个角叫作邻补角

3．下列命题中的条件(题设)是什么？结论是什么？

(1)如果两个角相等，那么它们是对顶角；

(2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行．

解：(1)题设：两个角相等，结论：它们是对顶角；

(2)题设：两条直线都与第三条直线平行，结论：这两条直线也平行．

4．命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题吗，为什么？

解：是假命题．理由，举反例：60°角是锐角，100°角是钝角，但它们的和不是180°. 总结：要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为“举反例”．

思考2：如图，已知直线b∥c，a⊥b.求证：a⊥c.

是

否 是

否 否 是 否

是

×

×

√

√

证明：因为a⊥b(已知)，

所以∠1＝90°(垂直的定义)，

又b∥c(已知)，

所以∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)，

所以∠2＝∠1＝90°(等量代换)，

所以a⊥c(垂直的定义)．

归纳：

1．数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫作公理．

2．经过推理证实的真命题叫作定理，定理也可以作为继续推理的依据．

3．在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理过程叫作证明．

练习：如图：AB∥CD，∠B＋∠D＝180°，求证：CB∥DE.

证明：因为AB∥CD (已知)，

所以∠B＝∠C(两直线平行，内错角相等)，

因为∠B＋∠D＝180°(已知)，

所以∠C＋∠D＝180°(等量代换)，

所以CB∥DE(同旁内角互补，两直线平行)．

第四环节

课堂检测

基础闯关

1．下列语句不是命题的是( B ) A．两直线平行，同位角相等

C．若|a|＝|b|，则a2＝b2 A．同旁内角互补

B．作直线AB垂直于直线CD

D．同角的补角相等

B．内错角相等

2．下列命题是真命题的是( D )

C．过一点只能画一条直线

A．若a⊥c，b⊥c，则a⊥b C．若a∥b，b⊥c，则a⊥c 假命题的是( B ) D．两点之间，线段最短

B．若a∥c，b∥c，则a∥b

D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c

3．设a，b，c为同一平面内的三条直线，下列命题不正确的是( A ) 4．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是

A．a＝3，b＝2

C．a＝3，b＝－1

B．a＝－3，b＝2 D．a＝－1，b＝3 5．将命题“同位角相等”改写成“如果……那么……”的形式是如果两个角是同位角，那么这两个角相等，题设是两个角是同位角，结论是这两个角相等，此命题是假命题．(填“真”或“假”) 6．命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，

结论是这两条直线互相平行．

7．如图，已知AC∥DE，∠1＝∠2.求证：AB∥CD．

证明：因为AC∥DE(已知)，

所以∠2＝∠ACD(两直线平行，内错角相等)．

因为∠1＝∠2(已知)，

所以∠1＝∠ACD(等量代换)，

所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．

拓展提升

1．如图，已知BC，DE相交于点O，给出以下三个判断：①AB∥DE；②BC∥EF；③∠B＝∠E.请你以其中两个判断作为条件，另外一个判断作为结论，写出所有的命题，指出这些命题是真命题还是假命题，并选择其中的一个真命题加以证明．

解：(1)若AB∥DE，BC∥EF，则∠B＝∠E，此命题为真命题； (2)若AB∥DE，∠B＝∠E，则BC∥EF，此命题为真命题；

(3)若∠B＝∠E，BC∥EF，则AB∥DE，此命题为真命题．

命题(1)证明如下：

因为AB∥DE，

所以∠B＝∠DOC．

因为BC∥EF，

所以∠DOC＝∠E. 所以∠B＝∠E. 2．已知，如图所示，∠AOB，∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．

求证：OE⊥OF.

证明：因为OE平分∠AOB，OF平分∠BOC(已知)，

11所以∠1＝∠AOB，∠2＝∠BOC(角平分线的定义)．

22因为∠AOB，∠BOC互为邻补角，所以∠AOB＋∠BOC＝180°，

11所以∠1＋∠2＝∠EOF＝∠AOB＋＝∠BOC＝90°，

22所以OE⊥OF.