相似三角形的周长比与面积比第二课时教案

义务教育课程人教版数学九年级下册第27章第2节

27.2.2 《相似三角形的性质》

教

学

设

计

及

其

说

明

赣州市章贡区水西中学

2019年4月28日

黄翠

一、内容与内容解析

1．内容

相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

2．教材的地位与作用

判定和性质是研究几何图形的两个重要方面，我们已经学习了相似三角形的定义及判定，进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究。相似三角形的性质是本章的重点内容之一，这些性质是解决有关实际问题的重要工具，为后续学习相似三角形的应用举例作铺垫，也是渗透转化、抽象模型、数形结合的良好素材．本节内容重视对知识的探究和运用，重视与实际问题的联系及运用相似知识解决实际问题能力的培养．

3．内容解析

我们已研究了相似三角形的判定，接下来就要对性质进行研究．与全等三角形一样，相似三角形的性质主要研究相似三角形几何量之间的关系．由相似三角形的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例．三角形还有其他的几何量，如高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等.教科书先对相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比进行研究，推广得到对应线段的比等于相似比；以此作为基础，得到相似三角形面积的比与相似比的关系. 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：相似三角形对应线段的比、面积的比与相似比的关系的探究和运用．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）理解相似三角形的性质．

（2）

会利用相似三角形的性质解决简单的问题．

2．目标解析

达成（1）的标志是：知道相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，能够通过推理证明这两条性质．

达成（2）的标志是：会利用相似三角形性质求有关线段的长和三角形的面积．

三、教学问题诊断分析

由定义可得到，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，类比于全等三角形的对应角相等，对应边相等，这些性质学生易于发现．但三角形还有其他的量，如何提出它们的性质？可提出哪些性质？既要从一维层面上提，又要想到二维层面上来，对学生现有的认知基础来说，还有一定的难度．

本节课的教学难点：提出相似三角形性质的猜想．

四、教学策略

教学中先通过观察计算来启发学生提出猜想，然后借助几何画板演示来验证猜想，再通过严谨的推理证明得到性质定理，最后归纳概括；对性质定理的探究经历观察——猜想——验证——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度。结合具体的实例，体现从特殊到一般的认知规律，通过研究相似三角形的内在联系，得出“相似三角形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方”的结论，然后通过例题与练习，加强对知识的理解与应用，最后通过变式应用，进一步开发学生潜能。

教学任务分析

1．能探索相似三角形一系列性质的证明过程.

知识技能

2．理解相似三角形的性质，并能运用相似三角形的性质计算有关的角、边、周长和面积问题.

1.

由边、角的数量关系去判定相似三角形是由数到形的过程

，

教

学

目

标

从相似三角形寻求边、角的对应关系是由形到数过程，即判定与性质是一个互逆的思维过程，但都体现了数形结合的思数学思考

想.

2．经历计算、发现、猜想、验证、论证、应用的过程，进一步发展归纳、分析问题、解决问题等能力，提高思维能力和语言表达能力．

1．借助正方形网格画出符合条件的相似三角形，进一步测量其对应高，以及计算出两个相似三角形的周长之比和面积之比，让学生的感知得到印证. 解决问题

2．能运用相似三角形的性质，解决有关角、边、周长和面积计

算的问题．

1．感受数学来源于生活，又服务于生活，体会数学的应用价值；

情感态度

2．通过动手操作，小组合作探究，发现数学的趣味性，激发学生学习的兴趣与热情，学会合作，增强自信心．

教学重点

教学难点

教学方法

相似三角形性质定理的探索、理解及应用

提出相似三角形性质的猜想

动手操作，合作探究．

教学手段

教学准备

多媒体辅助教学，几何画板演示．

正方形网格、三角板等．

教学流程安排

活动流程图

活动的内容与目的

引入“老王分一块三角形的田地给大王、小王”的情境设下悬疑，吸引学生注意力，并揭示课题，指明探究方向．

借助正方形网格画出符合条件的相似三角形，进一步测量其对应高，以及计算出两个相似三角形的周长之比和面积之比，提出猜想，借助几何画板演示来验证猜想，再通过严谨的推理证明得到性质定理，最后归纳概括相似三角形的性质. 将相似三角形的性质应用到实际问题中，构建数学模型，形成解决三角形的边、周长、面积类问题的一般思路与过程．培养学生分析问题、解决问题的能力．

结合变式考察了2个相似模型：A字型、8字型；由相似比去求面积比，从而求出面积；反过来由面积比来得到相似比,体现逆向思维；巩固所学知识，培养学生的应用意识和创新意识．

【活动1】情境设疑

【活动2】新知探究

【活动3】例题精析

【活动4】应用新知

学生从知识技能、思想方法、活动经验等方面小结收【活动5】反思小结，作业布置

获．布置针对性的作业，巩固所学知识，将学习延伸到课外．

教学过程设计

问题与情景

【活动1】情境设疑

引入情境：隔壁老王有一块三角形的土地，如图所示：∆ABC，且DE∥BC，DE：BC=2:3;由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的两个儿子，大王和小王. 问题：四边形的地会比小三角形的那块地大吗？如果大，那么大多少呢？师生活动

1．创设生活情境，调动学生积极性．

2．学生从形状上观察小三角形和四边形的大小，是无法看出它们的面积大小，也无法快速得出面积差的.

3．引导学生分析问题实质就是发现△ADE∽△设计意图

借助“老王分田地”激发学生的学习兴趣，体会数学与生活的联系．

培养用数学的眼光观察问题，从数学的角度分析问题．将小三角形的地与四边形的地的面积比较转化为探究△ADE的面积占△ABC的面积的比例，为后续环节做好铺垫．

ABC，并且探究△ADE的面积占△ABC的面积的比例.

引导学生分析问题，体会转化思想，进而揭示课题．

【活动2】新知探究

问题1：根据相似三角形的定义，相似三角形的对应边和对应角有什么特点呢？

问题2：三角形中，除了基本元素边和角外，还有哪些几何量？

1．观察猜想：ΔABC和ΔA'B'C'相似吗？相似比是多少？对应高的比又是多少？

猜想：相似三角形对应高的比等于

.

1．学生回忆定义，老师顺势给出相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.并引导学生从重要线段、周长、面积方面探究相似三角形的性质.

2.由学生发现ΔABC

培养学生的主动思考、自主参与学习的积极性.

通过观察、提出猜想.通过几何画板演示，让学1∽ΔA'B'C'，相似比为，2生的感知得到印证,再通过严谨的推理证明得到性质1对应高的比也是，从而2定理,让学生经历知识的发引导学生发现猜想：相似生、发展、形成过程.

三角形对应高的比等于相

似比

教师通过几何画板演示来

2．推理论证：如图，已知∆ABC∽∆

验证猜想的正确性.

A′B′C′,相似比是

k，其中AD 、

A′D′为一组推理论证猜想的过程中，

对应高. 引导学生把AD 、

A′D′放

在两个相似三角形中来得AD求证：''=k.AD

到AD 、

A′D′的比.学生小

组合作，谈论交流，得到

证明思路.

3．新知再探

问题3：如图，∆ABC∽∆A'B'C', 相似比

是k ,其中AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的中线，则AD 、

A'D'的比是多少？

问题4：如图，∆ABC∽∆A'B'C',

相似比是k ,其中AD、A'D'分别是∠BAC

、∠B'A'C'的角平分线,，则AD 、

A'D'的比是多少？

4．归纳小结

相似三角形的性质定理：

相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 进一步推广：

相似三角形对应线段的比等于相似比

问题5：两个相似三角形的周长比会等于相似比吗？

3．鼓励学生类比相似三角形对应高的比等于相似比，自主探究对应中线、角平分线的比等于相似比的推理思路，并小组讨论合作，得出规范严谨的论证过程，然后请小组发言；教师及时给出点评.

由相似三角形对应高的比等于相似比类比，得到对应中线、角平分线的比等于相似比，进而归纳出对应线段的比等于相似比．

求对应周长的比可以看作是相似三角形对应线段的比等于相似比的应用．

讲练结合，达到巩固新知的作用.

4.学生自主探究，教师指导：将∆ABC中的每条边用∆A'B'C'中相应的边表示，进而运用代数运算得到结论：相似三角形的周长比也等于相似比.

5．巩固新知

1.判断下列说法的对错：

（1）一个三角形的各边扩大为原来5倍，

这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍；

5.学生自主思考并回（2）一个三角形的各边缩小为原来的一答.教师小结：相似三角形1对应线段的比、周长的比

2都等于相似比. 2.如图，DE∥BC，AF⊥ BC交DE于点G,

交BC于点F, 且AD= 1, AB = 2,

(1)∆ADE与∆ABC相似吗？如果相似,求它

们的相似比为

(2)AG:AF=_____

半，那这个三角形的周长也缩小为原来的

6．新知再探

问题6：相似三角形面积的比也等于相

似比吗？

观察思考：下面两个等腰直角三角形的

相似比是多少？面积比又是多少？

6.学生观察发现大三4 角形与小三角形的相似比

是3，面积比是9，而9=32，

学生容易得到猜想：相似

三角形的面积比等于相似猜想：相似三角形的面积比等于

比的平方.接下来任意给出7．推理论证：

两个相似三角形，让学生如图，已知∆ABC∽∆

A′B′C′,相似比是

k，完成

SΔABC

其中AD 、

A′D′分别为BC、B'C'边上的高线，SΔA'B'C'

则

(3) ∆ADE的周长︰∆ABC的周长＝_____

的计算过程.

由特殊的图形，经过计算让学生发现并提出猜想；然后由一般相似三角形，运用代数运算得到：相似三角形面积的比等于相似比的平方.通过对性质定理的学习和探索，注重知识的形成过程，使学生体验特殊到一般的认知规律.

8．归纳概括

【活动3】例题精析

例1：如图，在∆ABC和∆DEF中，AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D .若∆ABC的边BC上的高为6，面积为

125，求∆DEF的边EF上的高和面积.

1.师生活动：师生一起

将相似三角形的性质应用到实际问题中，构建分析:先判断∆ABC和∆数学模型，形成解决三角DEF相似；然后利用相似三角形的性质得出本题的思路；再教师板书规范的解题步骤；最后教师小结解决三角形的边、周长、面积类问题的解题策略.

形的边、周长、面积类问题的一般思路与过程．培养学生分析问题、解决问题的能力．

结合变式考察了2个相似模型：A字型、8字型；充分应用了解决三角形的边、周长、面积类问题的解题策略；体现了逆向思维；巩固所学知识，培养学生的应用意识和创新意识，同时使学生充分体会类比的数学思想以及图形之间的互相联系。

【活动4】应用新知

问题1：如图∆ABC中，D、F在AB上，E、

G在AC上，且AD=DF=FB,DE∥FG∥BC,

2.

教师启发学生发现相似

模型：A字型.学生小组讨

论发现相似比，从而得到

面积比，求出面积，得出

结果.变式1是逆向思维；

变式2提示学生发现8字

型的相似模型.学生自主思

考得出结果，并小组汇报.

教师及时点评并小结. 变式1.如图，∆ABC被DE、FG分成面

积相等的三部分即

(S1=S2=S3)

,

且DE∥FG∥BC，则DE:FG:BC等于

变式2.如图，DE∥FG∥BC，

DE = 1, BC

1= 4，FG=2,若∆ADE的面积

，则∆AFG与

2

四边形DBCE的面积分别为

【活动5】反思小结，作业布置

1．你今天收获了什么？

2．解决三角形的边、周长、面积类问题

的解题策略是什么？

3．你体验了哪些数学思想方法？

若SΔAEF=6,则SΔACD=

1．引导学生从知识技能、思想方法、活动经验等方面小结本节课所学内容，老师强调解题思路和策略．

4．作业布置

必做题1.如图，在

ABCD中,BE=2AE,2．老师帮学生解疑释惑，并布置作业．

布置针对性作业，巩固所学知识，让不同的学生在数学上得到收获. 2. 如图，在∆ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2，且l1、l2、l3分别过点A、B、C，则边AC的长为

.

选做题

已知四边形ABCD的面积为1.

①如图，取四边形ABCD各边中点，则图中阴影部分的面积为

.

②如图，取四边形ABCD各边的三等分点，则图中阴影部分的面积为

③如图，取四边形ABCD各边的n(n为大于1的整数)等分点，则图中阴影部分的面积为

.

【教学反思】

1、本节课从一个有趣的生活情境引入，设置问题悬念，激发学生的求知欲望，使学生掌握将实际问题转化为数学问题的思想方法，感受数学知识在生活中的广泛应用。

2、借助正方形网格画出出符合条件的相似三角形，进一步观察及计算其边长、周长、面积，以及两个相似三角形的周长之比和面积之比，然后通过几何画板演示让学生的感知得到印证。

3、通过对性质定理的学习和探索，注重知识的形成过程，使学生体验特殊到一般的认知规律，以及由观察——猜想——论证——归纳的数学思维过程。

4、由例题精析-应用新知-变式训练，使本节内容衔接更趋自然，同时使学生充分体会类比及模型的数学思想以及图形之间的互相联系。

5、教学中注重小组之间的合作交流，在合作中加强学生的团体意识，体验成功的喜悦，树立学习的自信心.

6、教学设计合理，重点突出，讲练结合；小题方法归纳精炼，便于学生积累做题经验；