复习题优秀公开课教案

相似图形复习

一、

知识要点：

（一）比例线段：

1. 两条线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比，AB∶CD=m∶n，或写成ABm. CDn2．成比例线段:是指在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，则这四条线段成比例．

3．关于成比例的数，有以下性质：

⑴基本性质(比例式与等积式相互变形)

如果a:b=c:d，那么ad=bc；反之亦成立；

如果a:b=b:c，那么b2=ac；反之亦成立

⑵合并性质(在分子上进行加或减) acabcdabcd，那么① ②

bdbdbdabcd ①÷②得

abcd 如果⑶等比性质

如果acmacma(bdn0)，那么 . bdnbdnbacmc＝kd，…，m＝kn，是今后学习中常用方法．这里设＝＝＝＝k，得a=kb，bdn

典型例题：

1、

如果a:b:c3:4:5，那么2、若abc__________．

cx4y3z8xz，且xyz12，则______．

324yz3、若2a3b4c，则a:b:c________．

4、若△ABC三边a:b:c6:4:3，三边上的高分别为h1，h2，h3，则h1:h2:h3=________．

41答案：1、5

2、3、6:4:3

4、2:3:4 7

5、已知：abbcca===k，问：求直线y=kx-k必经过哪些象限？.cab

分析：因为等比性质的条件是“b+d+…+n≠0”所以要分“c+a+b=0”和“c+a+b≠0”两种情况讨论.c+a+b≠0时，k=abbcca2(cab)====2；直线y=2x-2cabcab

当c+a+b=0时，有a+b=－c，所以k=abc===－1. 直线y=-x-1必经过一、二、四象限。

cc∴综上所述：直线y=kx-k必经过一、四象限。

1

（二）黄金分割

如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），若ACBC，则称线段AB被点C黄金分ABAC51A割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，即AC=AB。2CB

典型例题：

（1）把长为8cm的线段进行黄金分割，较长线段的长是________ （2）若点C是线段AB的黄金分割点，则ACAB

A.512B.512C.532D.5135或22

答案：（1）（三）．相似多边形的性质：

（2）

选D 相似多边形的对应角相等，对应边成比例．

相似多边形周长的比等于相似比．两个相似多边形对应对角线的比等于相似比．

相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．

相似多边形面积的比等于相似比的平方．

典型例题：

（1）若四边形A1B1C1D1~四边形A2B2C2D2且S四边形A1B1C1D1：S四边形A2B2C2D2

1：9，则

（2）两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，它们的周长比为_________，面积比为______________。

（3）两个相似多边形地块的相似比为3：4，面积差为28m2，则它们的面积分别为_________________。答案（1）1：3

（2）4：9；16：81

（2）36 m2、

64 m2

（四）相似三角形

1．定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．

2．判定两个三角形相似常采用下列方法：

方法1

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．（两角对应相等，两三角形相似）

方法2

如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）

方法3

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（三边对应成比例，两三角形相似）

A1B1B1C1C1D1D1A1A2B2B2C2C2D2D2A2

2

方法4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个三角形相似．

特殊图形——双垂直

∵∠ACB=90°，CD⊥AB ∴△ACD∽△CDB∽△ABC 射影定理：

⑴△ACD∽△CDB→AC:BC=AD:CD=CD:BD→CD2=AD•BD

⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC=CD:BC→AC=AD•AB

⑶△CDB∽△ABC→CD:AB=BC:AC=BD:BC→BC2=BD•AB

特殊图形——∠ACD=∠B(∠A=∠A) △ABC∽△ACD→CD:BC=AC:AB=AD:AC→AC=AD•AB

典型例题：

例1．如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到点E，使BE=2AB，连结EC并延长交AD的延长线于F，求AF的长.

分析：考虑菱形的性质,得出平行线，从而得出相似三角形.用相似比即可求出AF的.

22CADADBBC解：∵四边形ABCD∴AB=BC=CD=DA，BC∥AD.

∴BE=2AB=6，△BCE∽△AFE.

∴AFAE99.∴AF=

BC=4.5.BCBE66

说明：求线段长，可以把它放在四条成比例线段中求出。

例2．如图，已知AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AD于F.

求证：DE2＝BE·CE.

分析：由于DE2＝BE·CE中的三条线段在同一条直线上，因此，要考虑比例式中哪一条线段可用它的等量代换，由于EF垂直平分AD，于是有AE＝DE，故只要证AE2＝BE·CE即证可考虑证△AEB∽△CEA.

证明：连结AE.

∵EF垂直平分AD，

∴AE＝DE

.∴∠DAE＝∠4.

∵∠3＝∠DAE－∠2，∠1＝∠2，

∴∠3＝∠4－∠1，

∵∠B＝∠4－∠1

∴∠B＝∠3.

3 BEAE即可，由此AECE

∵∠BEA＝∠AEC，

∴△BEA∽△AEC

.∴∴AE2＝BE·CE，故DE2＝BE·CE.

(五)．相似三角形的性质：

相似三角形对应边成比例，对应角相等．

AEBE.CEAE

相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

相似三角形周长的比等于相似比．

相似三角形面积的比等于相似比的平方．

典型例题：

（1）如图，在ABC中，DE//BC，AD3BD，SABC48，求SADE。

答案：27

（2）

如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=

m．

分析：利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．

解答：解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D

∴△DEF∽△DCB

∴∴BCDC,

∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=8m，

EFDEBC8,

∴BC=4，

∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米，故答案为5.5 0.20.4例3、如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形,已知∠C＝90°，AC＝12

cm，BC＝5

cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，并求出这种不锈钢片的边长.

分析：要求面积最大的正方形，则正方形的顶点应落在△ABC的边上，那么顶点落在边上时有如图1，2两种情况.

解：如图1，设正方形EFGH的边长为ｘ

cm，过C作CD⊥AB于D，交EH于点M.

∵∠ACB＝９０°，AC＝12，BC＝5，

∴AB＝AC2BC212252＝13∴CD＝ACBC12560.AB1313

∵AB·CD＝AC·BC，

∵EH∥AB，

∴△CEH∽△CAB.

4

∴EHCM.ABCD60x780x13

即．∴ｘ＝（cm）. 602291313如图2，设正方形CEGH的边长为y cm.

∵GH∥AC，∴∴GHBH．

ACBC

y5y60．∴y＝（cm）.12517

60cm.17∵x＜y，∴应按图2裁剪，这时正方形面积最大，它的边长为

点评：本题是一实际问题.关键是转化成数学问题，由相似三角形知识来解决.例3、已知：如图，△ABC的内接矩形EFGH的两个顶点E、F在BC边上，另外两顶点H、G分别在AB、AC上，

①设底边BC=12cm，高为8cm，GF=xcm，GH=ycm，求y关于x的函数关系式；

②在①的条件下，要使矩形EFGH的面积是18cm，问此矩形的边长是多少? 分析:利用相似三角形对应高之比等于相似比,找出GH和GF的关系. 解：

2解：①设高AP交GH于I，可证AI⊥HG，IP=GF=x，∴ AI=AP-IP=AP-FG=8-x在矩形EFGH中，HG∥EF∴△AHG∽△ABC∴ HG︰BC=AI︰AP而BC=12，AP=8，AI=8-x，HG=y∴ y︰12=(8-x) ︰8∴ 8y=12(8-x)y3x12(0x8)23x12)182②∵S=xy，而S=18xy18即x(∴ x=2

或x=6当x=2时，y当x=6时，y321292361232

5 ∴矩形的边长是2cm、9cm或3cm、6cm

（六）位似图形：

1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。

②两个位似图形的位似中心只有一个。

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。

④位似比就是相似比。

2）性质：①位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。

②位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。

典型例题：

如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O、A、B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．

（1）以O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2：1，画出△OA1B1．（所画△OA1B1与△OAB在原点两侧）；

（2）求出线段A1B1所在直线的函数关系式．

6

能力提升训练：

1．

在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．

（1）如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系．

（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB．

求证：AC=BD，AC⊥BD．

（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求MD2A1OBAO1CN图1图2MD2BAO1CN图3BBD的值．

ACD2MN

2．

已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P．

AP的值；

PCAP（2）如图2，当AD:DO=1:m时，求的值；

PC（1）如图1，当D为OA中点时，求（3）如图3，把题目中“点C为OB中点”改为“BC:CO=1:n”，当

APAD:DO=1:m时，直接写出的值．

PCAAPDPADPBC图1

DOBC图2OBC图3O

7

3．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向运动．过点D作DH⊥AB于点H，过点E作EF⊥AC，交射线BB1于点F，G是EF的中点，连接DG．设AD=5a，CE=3a．

（1）当a为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长；

（2）当△DEG与△ACB相似时，求a的值．

BHFB1GCDEA

4.如图，在△ABC中，ABC=90°，AB=6，BC=8，动点P从点A出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q从点C出发，沿CB向点B移动．在运动过程中，始终满足AP=2CQ，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设CQ=x．

（1）求△CPQ的面积S关于x的函数解析式；

（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出x的值．

APBQC

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