5. 牛顿运动定律的应用课堂实录及点评

课题：物体沿斜面下滑快慢的几个问题讨论

市西中学

张蕾

课程标准：

牛顿第二定律的应用在课程标准中属于最高的“应用”（D）的层次，这部分的内容为重点，综合其他内容，去解决较复杂的物理问题，是对知识的较系统认识。

教学目标

1、知识与技能：

（1）学会用牛顿定律解决各类物体沿斜面下滑问题

（2）掌握用牛顿运动定律解决力学问题的一般规律和方法。

2、过程与方法：

（1）通过创设情景、实例分析和练习的过程，认识分析、比较、等效、演绎、归纳、验证等科学方法。

（2）通过原型启发建立实际物理问题和物理模型之间的联系。

3、情感、态度与价值观：

（1）通过应用牛顿运动定律解决实际问题的过程，感悟物理学在社会发展中的重要作用。

（2）通过学生实验的过程，激发求知欲，获得成就感。

（3）通过小组合作寻找题目，全班共同合作相互启发和探究问题并应用建立的物理模型解决实际问题，培养学生实事求是的科学态度。

学情分析：

本节内容是对牛顿运动定律的综合提高和延伸，也为学习以后的物理学习打好力学基础。学习本节内以受力分析、力的合成与分解、匀加速直线运动规律、牛顿运动定律等基础知识和相应的技能为基础。通过对典型斜面下滑示例的分析和讨论，归纳出用牛顿运动定律解决动力学问题的一般规律和方法。

教学重点

怎样应用牛顿运动定律解决斜面下滑的力学问题。

教学难点

找出实际问题和物理模型之间的联系。

1

教学流程图：

学

生分组找寻生活中斜

面下滑快慢问题

学生将问题写黑板上和老师电脑中，师生共同探究问题

用解析法和特殊值法求解斜面下滑问题

用v-t图像求解斜面下滑问题

建立等时圆模型，并应用等时圆模型分类解决问题

讨论等时圆模型的应用条件

总结物体沿斜面下滑快慢问题的各种处理方法

使用kahoot网站，全班同学用手机做练习题，反馈教学成果

教学过程

1、问题的提出

【学生活动】全班同学分6组寻找物体沿斜面下滑快慢的问题。请学生代表将找到的题目预先写在教师OneNote软件内，或在预备铃时写在黑板上，供其他小组的同学讨论。

2、用写解析式法、数学方法和特殊值带入法求解斜面下滑时间问题

【例1】如图3，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（2l）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？

教师引导：实际问题转化为物理模型：

上题可以转化为：有三个光滑斜轨道1、2、3，它们的倾角依次是600，450和300，这些轨道交于O点．现有位于同一竖直线上的3个小物体甲、乙、丙，分别沿这3个轨道同时从静止自由下滑，如图，物体滑到O点的先后顺序是

A.甲最先，乙稍后，丙最后

B.乙最先，然后甲和丙同时到达

C.甲、乙、丙同时到达

D.乙最先，甲稍后，丙最后

方法一：写解析式带入特殊值法。

2 图3

带入0、30、45、60、90度等特殊值，由所得数据猜测45度时对应最短时间。教师引导，若是选择题，则特殊值法最为简便。但本题中如何证明最快下滑的角度就是45度？

方法二：写解析式数学方法求解

请一组同学进行求解，设斜面底边长为l，倾角为，则雨滴沿光滑斜面下淌时加速度为agsin，雨滴的位移为xlcos。

雨滴由斜面顶端由静止开始运动到底端，

由运动学公式得得tl1gsint2，

cos24lgsin22lgsincos，

l、g一定，所以当45时，

tmin4lg

总结：写出物理量的解析式，并用数学方法求解是解决物理问题最基本的方法。也可以灵活应用特殊值法帮助判断。对于底边一定的光滑斜面，当倾角为45度时，下滑最快。

【学生活动】学生上讲台演示斜面实验，定性演示45度时下滑最快，30和60度时下滑一样快

3.v-t图像法求解下滑快慢问题

【例2】两光滑斜面的高度都为h，OC、OD两斜面的总长度都为l，只是OD斜面由两部分组成，如图3所示，将甲、乙两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？

O v 甲

乙

VC

O 甲

乙

A B 图3 D C 图4 t乙

t甲

t 图5 D C 引导一组同学用v-t图像法：

解法一：本题往往采用v-t图象求解，作出物体分别沿OC、OD斜面运动的v-t图象（如图所示4），由图象可得乙球先到达斜面底端。

3

【例3】图甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分AE滑行的时间．技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图．AC是滑道的竖直高度，D点是AC竖直线上的一点，且有AD＝DE＝10 m，滑道AE可视为光滑，滑行者从坡顶A点由静止开始沿滑道AE向下做直线滑动，g取10 m/s2，则滑行者在滑道AE上滑行的时间为(

)

分析：本题没有斜面长度，没有斜面倾角，解析法不好用了。先跳过，请看例4。

4. 等时圆模型的建立

在师生共同解题的过程中，挑选黑板上最基本的等时圆习题，总结出等时圆模型

【例4】如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（

）

A.t1

B.t1>t2>t3

C.t3>t1>t2

D.t1=t2=t3

图1 解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图2，由牛顿第二定律得，

mgcosma

①

由几何关系，细杆长度L2Rcos

②

设下滑时间为t，则L由以上三式得，t212at

③

2图2 R

可见下滑时间与细杆倾角无关，与弦长g无关，所以D正确。

若将图1倒置成右图的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。

设某一条弦与水平方向的夹角为，圆的直径为d=2R（如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为

4

agsin，位移为sdsin，所以运动时间为

t02sa2dsingsin4Rg

即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。

总结：①物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。

②物体沿着位于同一竖直圆上的过顶点的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周低端的时间相等。我们把这两种圆叫做“等时圆”，

【学生演示实验】

请一组学生定性演示等时圆

5.自建等时圆模型解决问题

再回头看【例3】图甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分AE滑行的时间．技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图．AC是滑道的竖直高度，D点是AC竖直线上的一点，且有AD＝DE＝10 m，滑道AE可视为光滑，滑行者从坡顶A点由静止开始沿滑道AE向下做直线滑动，g取10 m/s2，则滑行者在滑道AE上滑行的时间为？

【解析】

AE两点在以D为圆心、半径为R＝10 m的圆上，在AE上的滑行时4R间与沿AD所在的直径自由下落的时间相同，t＝

g＝2 s，

【例5】还是如图1的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为μ，小滑环分别从a、b、c处释放（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？

解析：bd的长为2Rcosθ，bd面上物体下滑的加速度为a=gcosθ-μgsinθ，tbd=4RcosR=2。可ggtangcosgsin图1 d 见t与θ有关。

提醒：不可随意套用结论。

【例6】如图3所示，Oa、Ob、Oc是竖直平面内三根

5 O a b c 图3

固定的光滑细杆，O、a、b、c四点位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，c为最低点，每根杆上套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从图中O点无初速释放，用t1、t2

、t3、依次表示滑到a、b、c所用的时间，则

A．t1t2t3

B．t1t2t3

C．t1t2t3

D.t3t1t2

d O 解析：如果不假思索，套用结论，就会落入“陷阱”，错选A。必须注意，“等时圆”的适用条件f 是：光滑斜面上初速为零的匀加速直线运动，且运a 动起点（或终点）应在“等时圆”的最高（或最低）b 点。题图中O不是最高点，题设圆不是“等时圆”。

c 现以O点为最高点，取合适的竖直直径Oe，作g “等时圆”交Ob于b，如图4所示，显然，O到f、e b、g、e才是等时的，比较图示位移Oa＞Of，Oc图4 ＜Og，故可推知t1t2t3，正确的选项是B。

6.讨论等时圆模型的特点

教师总结：套用现成结论有时很快捷，但要注意套用结论时不可随意。

模型特点：光滑直轨道、出发点是最高点（或终点是最低点）、初速度为零、半径、圆周。

7.教师总结物体沿斜面下滑快慢问题的处理方法：

（1）解析法——最基本的方法

（2）特殊值法——快速解法

（3）v-t图像法——处理分段问题

（3）应用已知结论——快速解法

8.利用kahoot网站，全班学生做选择题，反馈教学情况：

1．三个相同小球从a点沿ab、ac、ad三条光滑轨道从静止释放，从哪条轨道下滑的小球先运动到最低点？(

) A．ab

B. ac

C.ad

2．圆O1和圆O2相切于点P，O1、O2的连线为一竖直线，如图8所示。过点P有两条光滑的轨道AB、CD，两个小物体由静止开始分别沿AB、CD下滑，下滑时间分别为t1、t2，则t1、

6 图8

t2的关系是（）

A.t1>t2

B.t1=t2

C.t1

D.无法判断

解：因AB、CD处在两个“等时圆”上，所以正确答案为B。

3.如图9，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧c 壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。若有三b a 个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则

（

）

A、a处小孩最先到O点

B、b处小孩最先到Oθ

O 点

C、c处小孩最先到O点

D、a、c处小孩同时到O点

解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c三点不可能在同一R1竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径为R，则=gsincos2θt2，t2=

4.倾角为30°的长斜坡上有C、O、B三点，CO = OB = 10m，在C点竖直地固定一长10 m的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图1所示，则小球在钢绳上滑行的时间tACA 2和tAB分别为（取g = 10m/s）

A．2s和2s

B．2s

和

2s

C．2s和4s

D．4s 和2s

C O 4R，当θ=450时，t最小，当θ=300和600时，sin2θ的值相等。

gsin230图1 B

解析：由于CO = OB =OA

，故A、B、C三点共圆，O为圆心。又因直杆AO竖直，A点是该圆的最高点，如图2所示。两球由静止释放，且光滑无摩擦，满足“等时圆”条件。设钢绳AB和A AC与竖直方向夹角分别为α1、α2，该圆半径为r，则对α2 α1 钢球均有

C 12rcosgcost2

O 230B

7 D 图2

解得：t4r, 钢球滑到斜坡时间t跟钢绳与竖直方向夹角α无关，且都等于由gA到D的自由落体运动时间。代入数值得t=2s，选项A正确。

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