2.3.1 椭圆的参数方程教案推荐

应县一中高二年级A层次数学导学案

2018年 月 日

编写：高冠军 审核：周忠懋 授课人：

班级： 小组： 姓名： 编号：4 课题：椭圆的参数方程 学习目标：

1.推导并记住椭圆的参数方程，搞清楚“离心角φ”。

2.弄清楚椭圆规的作图原理。

3.能够利用椭圆的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题。

自学清单

：（知识点）

1.椭圆的参数方程

圆心坐标为（a,b）,半径为r的圆的标准方程为：_________________,可变形

xarcos

为_________________，可得圆的参数方程为_________________，其ybsinr中为参数，它是个旋转角。类比圆的参数方程的推导，可得:①焦点在x轴上的椭xacos圆的标准方程为：_________________（a>b>0），令可得参数方程

ysinb为：_______________(其中为参数，它是“____________”而非“旋转角”) xbcos②焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：______________（a>b>0）,令

ysina可得参数方程为：_____________(其中为参数)。

(xx0)2(yy0)21（a>b>0）的参数方程为________________(为参数)。③椭圆

22ab(yy0)2(xx0)21（a>b>0）的参数方程为_______________(为参数) ④椭圆22ab

1

2.直线、圆、椭圆三种参数方程对比

①过P0（x0,y0）倾斜角为θ的直线参数方程为：____________________，若P0（1,2）

2，则直线的参数方程为：__________________。

3②以P0（x0,y0）为圆心，r为半径的圆的参数方程为：___________________。

若P0（1,2），r=3的圆的参数方程为：____________________。

③以P0（x0,y0）为中心，a为长半轴的长，b为短半轴的长，焦点在平行于x轴的

直线上的椭圆的参数方程为：____________________；焦点在平行于y轴的直线上

的椭圆的参数方程为：____________________,若P0（1,2），a=3,b=2的椭圆的

参数方程为：____________________或____________________。3.辅助角公式

asinxbcosxa2b2(aa2b2sinxba2b2cosx)

=___________________, a2b2sin(x)其中辅助角由_______________和________________确定，即辅助角的终边经

过点(a,b);若令sinaab22，cosbab22则上式=___________________。

二、例题剖析

【例1】如下图，以原点O为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B ，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.

）

O

N

x【变式训练】如下图，以原点o为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B ，过点A作AN⊥oy，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点o旋转时点M的轨迹参数方程.

2

y

O B

yA

M N x

【例2】

把下列普通方程化为参数普通方程。

x2y2x2y21 1 （1）（2）49259方程；参数方程化为x3cos（3） y5sinx4cos（4）

y3sin

【变式训练】抛物线y－2x－6ysinθ－9cosθ＋8cosθ＋9=0的顶点的轨迹方

程为：________________。

22x4cos【例3】

点P为椭圆

上第一象限上的一点，OP的倾斜角为600 y23sin （o为坐标原点），则点P的坐标为（ ）

A.（2，3） B.(45,415) C.(23,3) D.（4，3）

55★

规律方法★

xacos设椭圆“旋转角”’为，则____________。

(为参数)点P“离心角”为‘ybsinx3cos11【变式训练】o是坐标原点，P是椭圆（为参数)上离心角为所对y2sin6应的点，那么直线OP的倾角的正切值是___________。 .

【例4】

“

椭圆规”是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示．在一个十字形

的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B，它们可分别在

3

纵槽和横槽中滑动，在

直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出

一个椭圆。你能说明它的作图原理吗？

x＝－4＋cos tx2y2【例5】已知曲线C1：，(t为参数)，曲线C2：＋＝1. 649y＝3＋sin t(1)化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？

π(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线

2

C3：x－2y－7＝0距离的最小值．

当堂评测

x2y21.

已知A、B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求

369

△ABC重心G的轨迹的普通方程．

应县一中高二年级A层次数学导学案（4）答案

课题：椭圆的参数方程

4

自学清单

：（知识点）

22xyxarcos2221.

xa(yb)r,①221

abybrsinxxacos(为参数)，ayybsinbyy2x2②221aab，xbxx0acos③yy0bsin

cosθ“离心角”

sinθ，cosθxbcosyasinsinθ,

xx0bcosyy0asinx13cosy22siny13cosx22sin1x1t2y23t22.①xx0tcosyy0tsinxx0rcosyy0rsinx13cosy23sin②

③

xx0acosyy0bsin3.asinxbcosxa2b2(aa2b2sinxba2b2cosx)

a2b2sin(x)

5

acosa2b2其中辅助角由确定，即辅助角的终边经过点(a,b)；若令bsina2b2sinaa2b2，cosba2b2则上式=a2b2sinx

二、例题剖析

【例1】设∠XOA=，M（x，y）则A:（acosφ,asinφ）,B(bcosφy ,bsinφ),由已知22xy

M轨迹的普通方程

xacos1即为M轨迹的参数方程。消参得即为(为参数)

a2b2ybsiny【变式训练】yx1

22ab22

O

N

xx2cosx5cosx2y2x2y21（2）1

【例2】1.（1） （2）

 2.（1）925169y3siny3siny2x2【变式训练】答案：＋=1提示：抛物线y2－2x－6ysinθ－9cos2θ＋8cosθ169y2x2＋9=0的顶点坐标是(4cosθ,3sinθ), 消去θ化为普通方程是＋=1 169【例3】 B 解：OP的倾斜角为3kOPtan33

又kOPy23sinx4cos3

525cos,sinsin2cos55

45415x4cos,y23sin55

6

★

规律方法★tan

【变式训练】P(btana

3323

,-1),tan29【例4】【解】建立如图所示的直角坐标系，设M(x,y), 设MBx,MBb,MAaxacosybsin

【例5】【思路探究】

(1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．

x＝－4＋cos t，cos t＝x＋4，【自主解答】

(1)由得

y＝3＋sin t，sin t＝y－3.∴曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，

C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆．

x2y2曲线C2：＋＝1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长649x＝8cos θ，是3的椭圆．其参数方程为(θ为参数) y＝3sin θ，π(2)依题设，当t＝时，P(－4,4)；

2且Q(8cos θ，3sin θ)，

3故M－2＋4cos θ，2＋2sin θ. 又C3为直线x－2y－7＝0，

7

M到C3的距离d＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝|5cos(θ＋φ)－13|，

554334从而当cos θ＝，sin θ＝－时，其中φ由sin φ＝，cos φ＝确定，cos(θ＋φ)＝1，

5555

d 取得最小值85. 5当堂评测

1.[思维启迪] 由已知求出A、B坐标，再设出C 点坐标(6cos θ，3sin θ)，再用A、B、C的坐标表示出G点的参数方程，消参后得普通方程. 解

由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6，0)，B(0，3)．

6＋0＋6cos θ＝2＋2cos θ，x＝3由重心坐标公式可知

y＝0＋3＋3sin θ＝1＋sin θ.3（x－2）2由此消去θ得到＋(y－1)2＝1即为所求．

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