阅读与思考　一次方程组的古今表示及解法教学设计和教学实录

8.4

三元一次方程组解法举例

三维目标：

1．知识与技能：（1）了解三元一次方程组的概念. （2）会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．

（3）掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路．

2．情感态度与价值观：通过消元可把“三元”转化为“二元”，充分体会“转化”是解二元一次方程组的基本思路. 3．教学重点：（1）使学生会解简单的三元一次方程组．

（2）通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．

4. 教学难点：针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．

教学过程：

一、创设情景，导入新课

前面我们学习了二元一次方程组的解法，有些实际问题可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解。实际上，有不少问题中会含有更多的未知数，对于这样的问题，我们将如何来解决呢？

【引例】 （教师用PPT给出）

小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．

提出问题：1．题目中有几个条件？

2．问题中有几个未知量？

3．根据等量关系你能列出方程组吗？

【列表分析】

（师生共同完成）

（三个量关系）

每张面值

×

张数

=

钱数

合

计

注

1元

2元

5元

x y z 12 x 2y 5z 22 1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，即x=4y

解：（学生叙述个人想法，教师板书）

设1元，2元，5元的张数为x张，y张，z张.

1

xyz12,

根据题意列方程组为：x2y5z22,

x4y.【得出定义】 （师生共同总结概括）

这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．

二、探究三元一次方程组的解法

【解法探究】

怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？(展开思路，畅所欲言) ①xyz12例1 .解方程组x2y5z22②

x4y③分析1：发现三个方程中x的系数都是1，因此确定用减法“消x”.

解法1：消x ②-①

得 y+4z=10 . ④

③代人①

得5y+z=12 . ⑤

y4z10, 由④、⑤得5yz12.④⑤

y2,解得

z2.把y=2,代入③，得x=8. x8,∴y2, 是原方程组的解. z2.分析2：方程③是关于x的表达式，确定“消x”的目标. 解法2：消x

5yz12,④由③代入①②得

6y5z22.⑤y2,解得

z2.

2

把y=2代入③，得x=8. x8,∴y2, 是原方程组的解. z2.【方法归纳】

根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型一：有表达式，用代入法. 针对上面的例题进而分析，例1中方程③中缺z,因此利用①、②消z,可达到消元构成二元一次方程组的目的. 解法3：消z

①×5得 5x+5y+5z=60，

④

x+2y+5z=22，

②

④-②得 4x+3y =38 ⑤

③x4y,由③、⑤得

4x3y38.⑤x8,解得

y2.把x=8,y=2代入①，得z=2. x8,∴y2, 是原方程组的解. z2.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型二：缺某元，消某元. 教师提示：当然我们还可以通过消掉未知项y来达到将“三元”转化为“二元”目的，同学可以课下自行尝试一下. 三、课堂小结

师生共同总结

1.解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．

即三元一次方程组

消元

二元一次方程组

消元一元一次方程

3

2.解题要有策略，今天我们学到的策略是：有表达式，用代入法；缺某元，消某元. 四、布置作业

xy201.

解方程组yz19xz21①②

你能有多少种方法求解它？

③本题方法灵活多样，有利于学生广开思路进行解法探究。

2.

教材114页练习1（1），2；习题8.4—1. 五、板书设计

8.4

三元一次方程组解法举例

①xyz121.三元一次方程组P111 例1 .解方程组x2y5z22②

x4y③2.解题思路：

三元一次方程组

消元

二元一次方程组

解法1： 解法2： 解法3：

一元一次方程

消元3.解题策略：

（1）有表达式，用代入法；

（2）缺某元，消某元. 六、设计说明

本节是在学生具备二元一次方程组这一基础知识后的拓展内容，三元一次方程组作为刻画现实问题的数学模型之一，如何正确、灵活求解是本节课要解决的主要问题．

教学中，注意鼓励学生运用类比思想体会“消元”方法．消元时，教师注重引导学生先考虑好消去哪个未知数，具体使用加减法和代入法的哪种方法，然后再进行消元，以逐步培养学生分析题目特点、选择合适方法的学习能力．

4