2.2.2 圆的参数方程名师教学视频（文字实录）

学案主题：圆的参数方程

一、目标确定的依据

1、课程标准（考纲）相关要求

①.了解学习参数方程的必要性。

②.熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义。

③.能用圆的参数方程解决一些简单问题。

2、教材分析

本节课所用的教材是由人民教育出版社B版---选修4-4坐标系与参数方程，

内容为第二章第二节，第一课时学习圆的参数方程是为了进一步探讨直线、圆锥曲线的性质，它在生产实践中有很多实际的应用.本章主要学习参数方程的基本概念、基本原理、基本方法，因此在教学中要求应适当，难度要控制，基本应以课本例题与习题为主通过学习参数方程的有关概念，以及方程之间、坐标之间的互化，使学生感悟到坐标系及各种方程的表示方法是可以结合实际需要加以选择的。

3、学情分析

①．学生已经从初中开始学习坐标系，对坐标系有了较为深刻的认识，教学中我还是侧重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同。同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式。因此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式。在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处

②．学习极坐标前学生已经在必修4中学习了三角函数的定义，再通过具体例子让学生体会极坐标的多值性，但是在表示点的极坐标时，如无特别要求，通常取

ρ≥0 ，0≤θ＜2π。极坐标方程与直角坐标方程的互化，主要是极坐标方程化为直角坐标方程；参数方程与普通方程的互化，主要是参数方程化为普通方程，并注意参数的取值范围。

③．求曲线的极坐标方程主要包括：特殊位置的直线（如过极点的直线）、圆（过极点或圆心在极点的圆）；求曲线的参数方程主要包括：直线、圆、椭圆和抛物运动轨迹的参数方程。

④．在物理中，学生已经学***抛运动，由此引入参数方程，使学生了解参数的作用。应注意鼓励学生运用已有的平面向量、三角函数等知识，选择适当的参数建立曲线的参数方程。

二、学习目标

1.了解学习参数方程的必要性。

2.熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义。

3.能用圆的参数方程解决一些简单问题。

三、评价任务

参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。学习参数方程有助于学生进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力。

四、教学过程

一、复习回顾

1．参数方程与普通方程定义. 2．参数方程与普通方程的互化. 3．圆的标准方程：以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2

4．圆的一般方程：若D2+E2-4F＞0，则方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 【设计意图：】通过回忆圆的普通方程，在集中学生注意力的同时，让学生体会确定圆的方程，其圆心与半径的重要性，为下面求圆的参数方程作了铺垫。

提出问题，探究新知

问题一：圆心在（a,b）、半径为r的圆的参数方程为？

二、新课导学

【探究1】

圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为

y rMìïx=rcosqíïîy=rsinq(q为参数)

M0x O◆探究新知（预习教材P12～P16，找出疑惑之处）

如图：设圆O的半径是r，

点M从初始位置M0（t=0时的位置）出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为，以圆心O为原点，OM0所在的直线为x轴，建立直角坐标系。显然，点M的位置由时刻t惟一确定，因此可以取t为参数。如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是Mx,y，那么q=wt。设OM=r，那么由三角函数定义，有()ìxyïx=rcoswtcoswt=,sinwt=,即írrïîy=rsinwt(t为参数)

这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中参数t有明确的物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻）。考虑到q=wt，也可以取为参数，于是有ìïx=rcosqíïîy=rsinq

【探究2】(q为参数)

圆心在（a,b）、半径为r的圆ìx=a+rcosq的参数方程为ï

(q为参数）íy=b+rsinqïî

ìïx=rcosq提示：可将圆心在原点、半径为r的圆í按向量v=(a,b)

(q为参数）ïîy=rsinq平行移动后得到。

【设计意图：】利用多媒体展示问题后，同学学生自己分组讨论，由学生自己推导出圆的参数方程，在帮助学生理解记忆方程的同时培养学生合作探究能力，解决问题的能力。

典例透析: 例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化为参数方程。

课堂练习：1.填空：已知圆O的参数方程是

ìïx=5cosq

q为参数íïîy=5sinq()（1）如果圆上点P所对应的参数q=p，则点P的坐标是

535532如果圆上点Q所对应的坐标是2,2,则点Q对应的参数等于

x2cos2.选择题：参数方程(为参数)表示的曲线是

y2sin

A.圆心在原点,半径为2的圆

B.圆心不在原点,但半径为2的圆

C.不是圆

D.以上都有可能例2．圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q6,0是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程.（教材P24例2）

()

课堂练习：

（1）已知点P（x，y）是圆x2+y2 -6x -4y+12=0上动点，求

① x2+y2

的最值；②x+y的最值；

③P到直线x+y -1=0的距离d 的最值。

（2）已知P（x,y）圆C：x2+y2－2x+4y=0上的一动点。

①求x-1的最小值与最大值；

②求x－y的最大值与最小值；

③求点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。

【设计意图：】针对我们班学生整体的数学基础，选择难度较低的有关圆的参数方程题目，从而增强学生学习数学的信心，为下节课学习圆的参数方程的应用做了铺垫。

四、归纳小结

1、圆的参数方程；

2、求轨迹方程的三种方法：

⑴相关点点问题(代入法)；⑵参数法；⑶定义法；

3．圆的参数方程在求简单最值问题中的应用。

【设计意图：】简单的归纳小结可以再次加强学生对本节所学知识点的掌握。

五、作业布置：

1.课堂练习（2）

2.优化设计P26-P27

【设计意图】本课时课本中的习题较少，因此通过练习的形式选择与本课时相应的习题，针对学生水平的不同，设置必做题，选择题以及思考题，题目由易到难，既包括与本节例题类似的题目，也包括不同的题目，有益于通过学生的作业情况了解学生对本节知识的掌握情况，并在下一课时进行补缺补漏。

教学反思：我所教班级为普通班，本节课的知识量课本上比较简单，我根据学生的水平进行了一些扩展，结果由于学生基础不扎实，导致课堂上比较简单的题目学生也计算错误，部分学生不爱动笔，根据这一情况，以后教学时要多督促学生动笔，减少惰性。

板

书

设

计

圆的参数方程

一、圆的参数方程

例1

二：求曲线参数方程的步骤

例2