14.1 三角形的有关概念教案（名师）

第三讲：几何基础知识

一、基础知识点：

1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。

2.相交：在同一平面内，有一个公共交点的两条直线称为相交线。

3.邻补角：（1）定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。

（2）性质：位置——互为邻角

数量——互为补角（两角之和为180°）

4.对顶角：（1）定义：有一个公共顶点，并且有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角

（2）性质：对顶角相等

几何语言：∵∠1+∠2=180°

∠2+∠3=180°

∴∠1=∠3（同角的补角相等）

5、邻补角和对顶角的区别和联系

对顶角

图形

2 4

∠1与∠2

3

∠3与∠4 顶点

有公共顶点

边的关系

∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线

大小关系

对顶角相等

即∠1=∠2 邻补角

有公共顶点

∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。

∠3+∠4=180°

注意：

⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；

⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角

⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

概念巩固

1、如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝50°，求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数. 解：∵∠BOD与∠AOC是对顶角

D∴

＝

＝

°AO（ ）

50∵ 与 是邻补角

∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－50°＝130°

B∵ 与 是对顶角

C∴∠BOC＝∠AOD＝130°（ ）

2、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC.已知∠BOE=65°,A求∠AOD、∠AOC的度数.

CO

65

DE

B【基础知识点】

6、垂线

⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

几何语言记作：

C

如图所示：AB⊥CD，垂足为O ⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

(与平行公理相比较记) A O ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：垂线段最短。

D 7、垂线的画法：

⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。

注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

B PPA

BAB

APB

8、点到直线的距离

（1）定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离

P 如图，PO⊥AB，点P到直线AB的距离是PO的长。

PO是垂线段。PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。

（2）应用：现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应A O 用。

9、

“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”联系与区别

⑴垂线与垂线段的区别：区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。

联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)

⑵两点间距离与点到直线的距离

B

区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。

联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。

⑶线段与距离

距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。

概念巩固

1．下列说法中正确的是（

）

A．有且只有一条直线垂直于已知直线。

B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。

C．互相垂直的两条直线一定相交。

D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm。

2．如图，计划把河水引到水池A中，先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是

_________________________________________.

第2题

第3题

第4题

3．如图，OA⊥OB，OC⊥OD．若∠AOD＝144°，则∠BOC＝______．

4、如图，OA⊥OB，OC⊥OD，垂足均为O．则∠BOC＋∠AOD等于…………（

）

（A）150° （B）160° （C）170° （D）180°

5．如图，如果D是BC的中点，那么B、C两点到直线AD的距离相等．试写出已知，求证，并补全图形（不证明）．

【基础知识点】

第5题

1、平行线的概念：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b。

2、两条直线的位置关系

（1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。

（2）因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）

（3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）

3、平行公理――平行线的存在性与惟一性

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

4、平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

a

如左图所示，∵b∥a，c∥a

b

∴b∥c

注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才c

会结论，这两条直线都平行。

5、三线八角

两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。

l

如图，直线a,b被直线l所截

2 1 3 4 a

①∠1与∠5在截线l的同侧，同在被截直线a,b的上方，

6 5 b

7 8

②∠5与∠3在截线l的两旁（交错），在被截直线a,b之间（内），叫做内错角（位置在叫做同位角（位置相同）

内且交错）

③∠5与∠4在截线l的同侧，在被截直线a,b之间（内），叫做同旁内角。

④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。

6、如何判别三线八角

判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。

A D 3 4

例如：

2

5 6 7 F B

C 8

9

如图，判断下列各对角的位置关系：⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠BAD；⑷∠2E 与∠6；⑸∠5与∠8。

A D A D A A

2 2

6 C

1 B B F

1 1 7 F B C

B

概念巩固练习

1、如图，∠1的内错角是 ，它们是直线 、 被直线 所截得的； ∠1的同位角是 ，它们是直线 、 被直线 所截得的；

∠1的同旁内角是 ，它们是直线 、 被直线 所截得的；

2．如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是…………………………………（

）

（A）①、②、③ （B）①、②、④ （C）②、③、④ （D）①、②、③、④

3、如图，图中的同位角共有……………………………………………………………（

）

（A）6对 （B）8对 （C）10对 （D）12对

二、巩固练习：

1．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（

）

A．0

B．1

C．2

D．3 121

2

2121

2．三条直线两两相交于同一点时，对顶角有m对，交于不同三点时，对顶角有n对，则m与n的关系是（

）

A．m = n

B．m＞n

C．m＜n

D．m + n = 10 3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD = 38°，则∠AOC =

，∠COB =

。

AOCEDB

4．如图，直线AB、CD相交于点O，∠1－∠2=64°，

则∠AOC=______.

5、如图，直线AB 、CD相交于O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，

∠1=50°，求∠COB 、∠BOF的度数. 三、课后练习

1、判断题

（1）．把一个角的一边反向延长，则可得到这个角的邻补角……………………………（

）

（2）．对顶角相等，但不互补；邻补角互补，但不相等…………………………………（

）

（3）．平面内两条不平行的线段必相交…………………………………………………（

）

．．（4）、在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行…………………………（

）

（5）、在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行…………………………（

）

（6）、在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一之一相交…………………………（

）

（7）、在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交。…………………………（

）

（8）．若∠A与∠B互补，则∠A＋∠B＝180°(

) （9）．若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3互补(

) （10）．若∠AOB＋∠BOC＝180°，则点A、O、C必在同一直线上(

) （11）．若∠α＋∠β＋∠γ＝90°，则∠α、∠β、∠γ互余(

) （12）．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(

)

（13）．在同一平面内的两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等( )

2．如图，直线AB、CD相交于点O，∠1＝∠2．则∠1的对顶角是_____，∠4的邻补角是______．∠2的补角是_________．

3．如图，直线AB和CD相交于点O，OE是∠DOB的平分线，若∠AOC＝76°，则∠EOB＝_______．

第2题

第3题

4.如果同一平面内，a∥b，b与c交于点P，那么a与c的关系是______________. 5.20°角的余角的11等于_______，30°角的余角的的补角=______. 7126．平面内三条不同直线相交，最多能构成对顶角_________对。

7．A、O、B是一条直线上的三点，已知∠BOC比∠AOC大24°，则∠BOC＝______度

8.下列说法正确的有(

) ①不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；

③两条射线或线段平行，是指他们所在的直线平行；④不相交的两条射线不一定平行

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

9．一人从A点向北偏东60°方向跑了100 m到B点，然后依原道跑回，此时对于B点跑回的正确方向是(

)

DA.南偏北30°

B.南偏西60°

C.北偏西120°

D.北偏西30°

10．和一个已知点P距离等于2厘米的直线可画（

）条．

A．1

B．2

C．3

D．无数

11．点P是直线l外一点，点A、B、C是直线l上三点，且PA＝10，PB＝8，PC＝6，那么点P到直线l的距离为（

）．

A．6

B．8

C．小于6的数

D．不大于6的数

12.下列判断正确的个数是_____个。

⑴如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。

⑵如果两个角有共公顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角。

⑶对顶角的平分线在同一条直线上。⑷以同一个角为邻补角且不重合的两个角是对顶角。

13．一个角的补角与这个角的余角的度数比为3:1，求这个角的度数。

14. 从钝角∠AOB的顶点引射线OP⊥OA,

若∠BOP:∠AOP

= 2 : 3,

则∠AOB

= _________. 15. 如图1, 直线AB, CD交于点O, EO⊥AB, O为垂足, OF平分∠AOC, 且∠EOC

= 25∠AOC, 则∠DOF的度数为___________- 16. 如图2，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30，∠2=50，则∠3=______．

F

E

1C

C

32

A

O

B

A

D

B

图1 图2 图3 17. 如图3, ∠ACB=90,CD⊥AB垂足为D, 则下面的结论中, 正确的个数为

(

)

①

AC与BC互相垂直

②

CD与BC互相垂直

③点B到AC的垂线段是线段CA

④点C到AB的距离是线段CD

⑤

线段AC的长度是点A到BC的距离

(A) 2个

(B) 3个

(C) 4个

(D) 5个