6.7 用相似三角形解决问题第二课时教学实录

6.7 用相似三角形解决问题(2) 学习目标：

1．掌握中心投影的概念，对比、总结平行投影与中心投影的区别；

2．运用相似三角形的知识，建构中心投影的数学模型，辅助解决实际问题；

3．感受相似三角形的运用价值，深化对核心数学知识的理解，培养学习兴趣，增强合作意识．

学习重点：掌握中心投影的相关知识，用相似三角形的知识解决问题．

学习难点：将实际问题抽象、建模，辅助解题．

学习过程：

导学预习：

1．如图1是用杠杆撬石头的示意图，

C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬起．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须上翘起10cm，己知图1 杠杆的AB=2m，BC=40cm，则要这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压

cm

．

2．晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是（

）

A.变长

B.变短

C.先变长后变短

D.先变短后变长

A 3．夜晚在亮有路灯的路上，若想没有影子，你应该站的位置是（

）

E H A.路灯的左侧

B.路灯的右侧

C.路灯的下方

D.以上都可以

4．如图2，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（

）

F

G 1212Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

B C

3993图2 ）

合作探究：

活动一

自主学习

讨论分享

阅读阅读教材83页，了解中心投影，说说自己的体会．

_______________________________________________________称为中心投影。

思考：在点光源的照射下，不同物体的物高与影长成比例吗？

结论：一般地，在点光源的照射下，同一个物体在不同的位置，它的高与影长____________．

活动二

尝试交流

如图，某人身高CD＝1.6m，在路灯A照射下影长为DE，他与灯杆AB的距离BD＝5m．

（1）AB＝6m，求DE（精确到0．01m）；

（2）DE＝2.5m，求AB．

1

活动三

例题学习

如图，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影长DF＝3 m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4 m．设小丽的身高为1．6 m，求灯杆AB的高度．

变式练习1：

已知为了测量路灯CD的高度，把一根长1.5m的竹竿AB竖直立在水平地面上．测得竹竿的影子长为1m，然后拿竹竿向远处路灯的方向走了4m．再把竹竿竖直立在地面上，竹竿的影长为1.8m，求路灯的高度．

变式练习2：

小华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后的影子顶部刚好触到AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前的影子的顶端接触到路灯BD的底部．已知小华身高为1.6m，两个路灯的高度都是9.6m．

（1）求两个路灯之间的距离．

（2）当小华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？

练一练：

1．3根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第1、第2根旗杆在同一灯光下的影子如图．请在图中画出光源的位置，并画出第3根旗杆在该灯光下的影子（不写画法）．

2

2．如图，某同学身高AB＝1.70m，在灯光下，他从灯杆底部点D处沿直线前进4m到达点B时，测得他的影长PB＝2m．求灯杆CD的高度．

3．如图，圆桌正上方的灯泡O（看成一个点）发出的光线照射到桌面后，在地上形成影．设桌面的半径AC＝0.8 m，桌面与地面的距离AB＝1m，灯泡与桌面的距离OA＝2m，求地面上形成的影的面积．

小结：

课堂作业：课本习题6．7第4、5、6题．

课后练习：

1．如图1，A、B两点被池塘隔开，在AB外任选一点C，连结AC、

BC分别取其三等分点M、N量得

MN＝38m．则AB的长是

（

）

A．

152m

B．114m

C．76m

D．104m 2．小明身高为1.6米，他在距路灯5米处的位置发现自己的影长为1米，他在向前走距离路灯为7米时，他的影长将（

）

A.增长0.4米

B.减少0.4米

C.增长1.4米

D.减少1.4米

O A B 图1 图2 图3 O1

图4 3．如图2，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为

．

4．如图3，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点,使得CD∥AB，若测得CD＝5m，AD＝15m，ED=3m,则A、B两点间的距离为________．

3

5．如图4，是一盏圆锥形灯罩AOB，两母线的夹角AOB90，若灯炮O离地面的高OO1 是2米时，则光束照射到地面的面积是

米

6．在6米高的路灯下，身高1.5米的哥哥的影长为1米，身高1.2米的弟弟的影长为2米，那么哥哥和弟弟之间的距离x的取值范围是

. 7．小明、小亮在高为8米的路灯下做游戏，他们发现身高为1.6米的小明在路灯下的影长为1米，身高为1.65米的小亮要想在该路灯下得到一个3.1米长的影子，而且两人的影子要保证在同一直线上，那么两人应该相距

米. 8．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点

）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

P

O

B

N

A

M

第8题图

9．如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．

A

C

E

G

B

F

D

10．如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB、PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，•沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．

（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（•用点C标出）；

（2）已知：MN=20m，MD=8m，PN=24m．求（1）中的点C到胜利街口的距离CM．

4

6.7 用相似三角形解决问题(2)参考答案

导学预习：1．40cm

2.D

3.C

4.C 活动二

尝试交流(1)1.82m

(2)4.8m 活动三

例题学习AB=6.4m

变式练习1：路灯离地面的高度是9米．

变式练习2：

解：（1）由对称性可知AP=BQ，设AP=BQ=xm ∵MP∥BD∴△APM∽△ABD∴∴∴x=3∴AB=2x+12=2×3+12=18（m）答：两个路灯之间的距离为18米．

（2）设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F，

则BF即为此时他在路灯AC的影子长，设BF=ym∵BE∥AC∴△EBF∽△CAF ∴，即解得y=3.6，经检验y=3.6是分式方程的解．

答：当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是3.6米．

练一练：2．5.1m

3.1.44π

课后练习：

1．B

2.A

3.0.81π

4.20m

5. 解：由题意知，圆锥的正截面是等腰直角三角形，所以光束照射到地面的半径=OO1=2m，那么光束照射到地面的面积=4π≈12.6米2．

6.8.

解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，

∴小明的身影变短了5-1.5=3.5米．

9. 解：由AB∥CD，得△ABF∽△CDF所以由AB∥EF，得△ABG∽△EFG所以即即②

①

，

由①、②得BD=9代入①，得∴AB=6（m）

答：路灯杆AB的高度为6m。 10.(1)

于M，∴∠CMD=∠PND=90°．又∵∠CDM=∠PDN，．∵MN=20m，MD=8m，

PN=24m．∴CM=16（m）．

(2) ∵AB∥PQ，MN⊥AB∴△CDM∽△PDN，∴∴点C到胜利街口的距离CM为16m．

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