2.7 正方形PPT及课堂实录内容

2.7正方形

一、教学目的

1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．

二、重点、难点

1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．

2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．

三、例题的意图分析

本节课安排了三个例题，例1是教材P73的例1，例2是教材P73的例2，例3,是补充的题目．其中例1是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例2是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是菱形，再证明一个角是直角，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固，为了活跃学生的思维，也可以将判断题转化为下列问题让学生思考：

①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？

②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？

③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？

④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？

⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？

四、课堂引入

1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．

学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？

正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方．．．．．．．．．．．．．．．．．．形．

指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：

（1）有一组邻边相等的平行四边形

（菱形）

（2）有一个角是直角的平行四边形

（矩形）

这就是正方形的判定. 2．【问题】正方形有什么性质？

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

正方形的性质: 边：正方形的四条边形等

角：正方形的四个角都是直角

对角线：正方向的对角线垂直且互相平分

对称性：正方形即使中心对称又是轴对称图. 五、例习题分析

例1

如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F. 求证：DE = DF. 证明:∵ 四边形ABCD为正方形，

∴ AD = CD，

∠A =∠DCF = 90°.

∵ DF⊥DE，

∴ ∠EDF = 90°，

即∠1 +∠3 = 90°，

又

∵ ∠2 +∠3 = 90°，

∴ ∠1 =∠2.

∴ △AED≌△CFD （ASA）. ∴ DE = DF.

例2 如图2-60，

已知点A′，B′， C′， D′分别是正方形ABCD 四条边上的点，

并且AA′= BB′= CC′= DD′.

求证：四边形A′B′C′D′是正方形. 证明:∵ 四边形ABCD为正方形，

∴ AB = BC = CD = DA. 又∵ AA′ = BB′ = CC′ = DD′，

∴ D′A = A′B = B′C = C′D. 又∵ ∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，

∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′. ∴ A′D′= B′A′= C′B′= D′C′. ∴ 四边形A′B′C′D′是菱形. 又∵ ∠1 =∠3，

∠1 +∠2 = 90°，

∴ ∠2 +∠3 = 90°.

∴ ∠D′A′B′= 90°.

∴四边形A′B′C′D′是正方形. 例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

求证：四边形PQMN是正方形．

分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．

证明：∵

PN⊥l1，QM⊥l1，

∴ PN∥QM，∠PNM=90°．

∵

PQ∥NM，

∴

四边形PQMN是矩形．

∵ 四边形ABCD是正方形

∴

∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．

∴

∠1+∠2=90°．

又

∠3+∠2=90°， ∴

∠1=∠3．

∴ △ABM≌△DAN．

∴ AM=DN． 同理 AN=DP．

∴ AM+AN=DN+DP

即 MN=PN．

∴

四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．

六、随堂练习

1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．

2．下列说法是否正确，并说明理由．

①对角线相等的菱形是正方形；（ ）

②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）

③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）

④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）

⑤

四个角相等的四边形是正方形．（ ）

3.已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，F 且DE＝BF．

求证：∠AFE＝∠AEF．

A B

4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，

D E C 求∠EAD与∠ECD的度数．

七、课后练习

1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．

求证：EA⊥AF．

2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．

3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．

矩形、菱形、正方形错例辨析

在初学矩形、菱形、正方形这部分内容时，由于对这几个图形的性质和判定掌握不够好，常出现这样或那样的错误，现举例辨析，供学习时参考．

例1

两条对角线相等的四边形是（

）

A．平行四边形

B．菱形

C．矩形

D．不能确定

错解：选C．

辨析：两条对角线相等的图形不一定是矩形，如图1，

可以是不规则的四边形，图中对角线AC=BD．

正解：选D．

例2

对角线_____________的四边形是菱形．

错解：互相垂直．

辨析：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，如图2就不是菱形，应强调垂直且互相平分．

正解：垂直且互相平分．

例3

正方形ABCD中，两条对角线的交点为O，∠BAC的平分线交BD于E，若正方形的边长是2cm，则DE的长是（

）

A．1cm

B．2cm

C．3cm

D．32cm 2错解：选D．

辨析：如图3，把E当作OB的中点，这样由勾股定理可以算出1322（cm），DEODOE2，这是错误BD222222（cm）22的．

本题应先推出∠DAE=∠DEA（∠EAD=∠OAD+∠OAE=67.5°=∠OBA+∠BAE=∠DEA），所以△DAE是等腰三角形，DE=DA=2cm．

正解：选B．

例4

矩形的各内角平分线组成的四边形是正方形吗？为什么？

错解：不是正方形．因为只能判定四个角是直角，不能判定四边相等，所以是矩形而不是正方形．

辨析：错解的原因是对概念掌握的不好．本题的条件不但能判定四个角是直角，还能判定四边相等，如图4．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=∠ABC=90°．

11∴∠1=∠2=

∠DAB=45°，∠3=∠4=

∠ABC=45°．

22∴∠MEN=∠AEB=90°．

同理∠N=∠M=90°．

∴四边形EMFN是矩形．

∵∠1=∠3，∴

AE=BE．

∵∠2=∠4，AD=BC，

∴Rt△AMD≌Rt△BNC．

∴

AM=BN．

∴

EM=AM-AE=BN-BE=EN．

∴四边形EMFN是正方形．

正解：是正方形．证明过程如上．