y=ax^2+bx+c的图像教学设计

5.2 二次函数的图像与性质4 无锡市新安中学

王晓华

【教学目标】

1.

经历探索二次函数yax2bxc（a0）的图像和开口方向、对称轴和对

称点坐标以及配方的过程，理解二次函数yax2bxc（a0）的性质. 2.

二次函数yax2bxc（a0）的顶点坐标公式的应用. 3.

通过yax2bxc与yaxhk两种不同函数表达式互化，深刻理解它们的内2在关系，体会数学的和谐美.

【教学重难点】

重点：二次函数顶点坐标公式的应用.

难点：理解二次函数一般形式yax2bxc（a0）的配方过程，发现并总结yax2bxc与yaxhk的内在关系.

2

【教法学法】

问题引领，小组学习

【教学过程】

一、旧知回顾

1.

梳理旧知

【设计意图】研究二次函数的图像与性质，我们遵循了从简单到复杂，从特殊到一般的顺序.通过复习旧知，帮助学生建构起知识网络框架，为课题的引入做好铺垫.

2.

检测旧知

二次函数

开口方向

对称轴

顶点坐标

y3x41

2y5x23

2y7x12

2y2x59

2

【设计意图】复习由顶点式得出开口方向、对称轴、顶点坐标等相关知识，引出课题：今天我们就一起来探究一般形式下的二次函数的图像和性质.板书课题：5.2 二次函数的图像与性质. yax2bxc（a0）

二、新知探究

探究活动一：探究二次函数yax2bxc（a0）的图象和性质，我们还是从特殊的例子入手. 你知道，函数y12x6x21

的图像特征吗? 2你知道是怎样配方的吗？

（1）“提”：提出二次项系数；

（2）“配”：括号内配成完全平方；

（3）“化”：化成顶点式. 学生进行配方，化成顶点式：y1x623. 2教师提问：根据顶点式，说出开口方向、顶点坐标、对称轴，并画出该二次函数的大致图像. 【设计意图】继续让学生体验研究一个全新的问题，我们往往按照从特殊到一般的顺序展开研究，此处也是先从特殊的例子入手分析.其次，对于这样一个全新的问题，我们就要去想能不能把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，显然可以通过配方法把一般式转化为顶点式，从而顺利解决问题.在处理这个特殊例子时，学生又回忆之前所学的配方法进行变形的技巧进行配方.

探究活动二：你知道二次函数yaxbxc（a0）

的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大（或者最小）值吗？

学生对一般式进行配方. 2

yax2bxca(x2bx)ca222bbbaxxac

a2a2abb2axc2a4ab4acb2ax2a4a归纳概括：

22b4acb2（1）顶点坐标：2a,4a

（2）对称轴是直线xb

2a这个结果通常称为顶点坐标公式. 【设计意图】在已有经验的基础上，让学生自己探索二次函数yax2bxc（a0）

的相关性质.

探究活动三：

探究二次函数yaxbxc(a0)的图象的画法．

学生讨论，并归纳总结. 步骤：1．利用配方法或公式法把yaxbxc化为ya(xh)k的形式．

2．确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．

3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图．

【设计意图】在已有经验的基础上，让学生自己探索二次函数yaxbxc（a0）

的相关性质.

三、典型例题

例1

确定二次函数y2x4x6的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出该函数的大致图像. 先学生独立思考，后小组交流. 教师总结：由二次函数的一般形式求该函数的对称轴、顶点坐标，我们可以采用配方法或者顶点坐标公式的方法写成顶点式，从而解决问题.组织学生比较这两种方法的优劣，大家一致认为顶点坐标公式方法的简便，感受到新知学习的必要性. 由顶点坐标公式法求出顶点横坐标，如何来求纵坐标，学生展开讨论. 方法一：代入顶点坐标公式，求纵坐标. 22222

方法二：把横坐标代入函数解析式，即可求出纵坐标.

【设计意图】通过本题，让学生感受到学习顶点坐标公式法的优越性.其次，通过交流讨论，优化解题方法.

例2

求下列函数的最大值或最小值. （1）yx22x3（2）y3x212x

总结：求二次函数最值，有两个方法．(1)用配方法；(2)用公式法．

变式：已知函数yx22x3，当x的取值范围是多少时，函数值y随x的增大而减小. 【设计意图】本题的设置，希望同学们能透过现象看本质，求函数的最值问题，实则是研究二次函数的顶点坐标问题.当a0时，开口向上，存在最高点，则函数值存在最大值；当a0时，开口向下，存在最低点，则函数值存在最小值. 变式题的设置，同样也起到锻炼学生思维的灵活性的作用.函数的增减性问题，其实还是借助对称轴，一分为二地研究增减性.本题求x的取值范围，实际上就是先要找准对称轴，根据顶点坐标公式求出对称轴，再结合图像判断x的取值范围.

例3

将二次函数y2x28x9的图像先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，求所得图像的相应的函数表达式为多少？

学生先独立思考，后分组讨论，教师点评总结. 方法一：化成顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的原则，得到新函数的表达式. 方法二：先由顶点坐标公式求出原函数的顶点坐标，再根据图像平移得出图像上每一个点都作相应的平移，从而得出新函数的顶点坐标.其次，平移前后，二次项系数a不变，从而得出新函数的表达式. 【设计意图】本题锻炼了学生思维的开阔性，进行了一题多解的拓展与应用.

四、拓展延申

已知二次函数ym1x2mx3m2m1的最大值是0，求此函数的解析式．

2学生发言，其他同学补充，完善. 教师总结. 【设计意图】本题依然让学生自己来畅所欲言，让“错误”在学生的讲解中暴露出来，引起同学今后解题的关注.本题中因为二次函数“m1”易被学生忽略，其次，函数有最大值，说明开口向下，最大值即为顶点的纵坐标为0.根据开口向下，容易得出“m1”，最大值4acb20，从而解决问题.在这里，也充分体现了学生发现问题、分析问题、解为0，则4a决问题的能力.

五、反思提升

1. 这一节课我们一起学习了哪些知识和方法？

2. 你还有什么疑问吗？

3. 你认为还有继续探索的问题吗？

【设计意图】“反思提升”环节，帮助学生梳理本节课所学的知识点，其次提炼并归纳出所用到的思想方法，包括研究问题的方法.另外，前面我们都是由函数表达式来研究函数的图像与性质，反过来，由函数图像我们能不能得到表达式中a、b、c的相关信息，从而留下了生长式的小结.

【教学反思】

本节课紧紧围绕我校“融合”课题进行了公开课的教学，本人也进行反思了，觉得本节课在如下几个方面符合“融合共生”的理念. 一、知识的深度融合

本节课探究了二次函数yax2bxc的图象与性质.本课时的学习是学生在已有学习经验的基础上，进一步经历探索二次函数图象和性质的过程.从简单到复杂、从特殊到一般，将二次函数的一般式化为顶点式，体验将不熟悉的问题转化为熟悉的问题的成就感，帮助学生完善对二次函数的图像与性质相关知识的建构. 首先回顾二次函数顶点式的旧知，通过回顾旧知的相关问题，使学生体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的重要性.然后从特殊的二次函数入手通过配方法把一般式转化为顶点式，接下去放手让学生去推导二次函数yax2bxc的对称轴和顶点坐标公式.在完成上述的教学内容后，通过三道例题和一道拓展题，让学生在独立思考的基础上进行合作讨论，也进行了思维的碰撞，体会学习二次函数顶点坐标公式的优越性与必要性，优化解题方法.最后通过“反思提升”，不仅对所学知识、方法进行梳理和总结，而且还留下了生长式的小结，引发学生课后进一步的思考，由二次函数的图像判断表达式中a、b、c的相关信息. 二、师生的亲密融合

数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程.真正的知识不全是由教材和教师讲授的途径获取的，其实学生也是课程资源的开发者.课堂便是师生融合、生生融合的场所.基于这样的理念，笔者进行了问题引领，小组学习的探究方式. 在归纳二次函数性质的时候，充分地相信学生，鼓励学生大胆的用自己的语言进行归纳，因为学生自己的发现远远比老师直接讲解要深刻得多.在例题教学中，放手让学生展示，让他们集思广益，这样也利于学生找到优化解题的方法，利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学.因为真正的形成往往来源于真实的自主探究.只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我. 为了更好地体现“生生融合”，本节课的设计主要通过问题引领、小组学习的教学方式.把教学重、难点通过问题设计，细化分解，让每个学生学有所得；通过“小组探究”的学习

形式，鼓励学生在自主学习、独立思考之余与他人合作，探讨出正确结论，锻炼了各方面的能力. 三、教与学的反思融合

本节课不仅要求学生要进行反思性学习，而且也要求课后教师进行反思性教学，只有两者真正融合，才能得到更好的教学效果. 本节课的学习充分体现了学生的反思性学习.在引入课题前，学生反思旧知，进行了回顾和梳理.在研究二次函数的一般式问题时，学生同样需要反思，把新知转化为旧知去解决.反思性学习，其实就是一次次问题解决的历程，通过反思，学生能进一步提出问题、分析问题、解决问题，逐步提高问题解决的能力.在例题的解决过程需要深度思考与解题后的优化、推广与拓展等.小结时有学生对自己的学习态度、成功与失败之处进行反思，及时总结经验，吸取教训，也有指向知识远点的探究.在本节课的学习过程中学生经历了反思的过程，通过深入研究，不断体会数学的本质，积累数学活动的基本经验，让新知的学习走向了“深度”.在自主探索、合作交流的基础上进行自我反思与集体反思，促进了学习能力的提升，促进核心素养的落实，为学生的可持续发展奠定坚实的基础. 当然，作为教师同样也需要反思自己的教学过程，不断优化自己的教学设计与课堂把控. 与学生一起去探究协作，寻觅适合学生自己的真知才是最有效的教学.要开展成功的探究，教师要科学设置问题情景或问题素材.今后还要进一步改进，使探究的问题更具有层次性和探究性，适时、适势、适度地用教学机智调控课堂.例如本课中，学生老是得不出二次函数性质的内容，其中引导的过程就是充满机智的过程.在教学设计中，要预设多种意外和可能，这样探究真知的过程就会艰辛并顺利展开. 同时本课时内容相对较多，时间比较紧，部分学生思绪有点混乱，在课后作业和课堂上表现明显，需要在下一节课加固一下本课知识.