1.2.2 极坐标系与直角坐标的关系教学设计模板

第二课时 点的极坐标与直角坐标的互化

一、教学目标

(一)知识与技能目标

掌握点的极坐标与直角坐标的互化公式，了解互化公式的三个前提及其使用方法．

(二)过程与方法目标

能熟练进行点的极坐标与直角坐标的互相转化，初步掌握何时用直角坐标系、何时用极坐标系解决问题．

(三)情感态度与价值观目标

极坐标系作为解析几何的一种独持工具有其独到的功能，从中可进行同一问题，可以用不同工具和不同方法去研究，其解决问题的效率和效果也会有不同的思想方法教育．

二、教学重难点

1．重点：点的极坐标与直角坐标的互化公式及其使用方法；

2．难点：直角坐标化为极坐标时极角的取值范围。

三、教学过程

(一)知识回顾、引入新课

知识回顾: 1.什么是极坐标系（如图所示）及其四要素

①极点；

②极轴；

③长度单位；

④角度单位（弧度）及它的正方向（逆时针方向）。

2.点的极坐标表示方法及点与其极坐标除极点外一一对应

的限制条件

M(,),限制条件0,02

引入新课: 思考：平面内一点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示，那么这

两种坐标之间有什么关系呢？

（二）新课讲授

1、探讨极坐标与直角坐标的关系

互化的前提：

①极点与直角坐标系的原点重合;

②极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；

③两种坐标系的单位长度相同。

思考1：平面内的一个点的直角坐标是A（1，1），则该点极坐标为______ 思考2：平面内的一个点的极坐标是B(2,)

，则该点直角坐标为______ 22. 极坐标与直角坐标的互化

如图1，设点M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)，

若把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，

并在两种坐标系中取相同的长度单位，设点M的极角为，极径为，则

点M的极坐标为(,)，



图1 问题一：点M的两种坐标之间有什么关系？

答：从图1可知xcos,ysin，

①说明：已知平面内任意一点M的极坐标(,)可化成直角坐标(x,y).

问题二：如何将点M的直角坐标(x,y)化成极坐标呢？

答：由①可知：x2y2(0),tany(x0)x②

②说明：已知平面内任意一点M的直角坐标(x,y)可化成极坐标(,).

综上可知: (1)互化公式的三个前提条件：

①极点与直角坐标系的原点重合; ②极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；

③两种坐标系的单位长度相同。

(2)极坐标和直角坐标的互化关系式为：

（极直）xcos,ysin

（直极）x2y2(0),tany(x0)x②

2. 例题讲解

2例1 将点M的极坐标（5，）化成直角坐标.(教材P11例3)3

解：由极坐标化成直角坐标的公式：

s,ysin

xco可得：

x5cos25253,y5sin3232

553（，）.22M因此，点的直角坐标为

巩固练习1：

求它们的直角坐标.

7A(4,)

B(3,)

C(2,)

D(1,)

E(2,)

3462思路：利用极坐标化成直角坐标的公式：xcos,ysin

例2

将直角坐标点M(3，1)化成极坐标.(教材P3)

11例解：由直角坐标化成极坐标的公式可得：

22（3）（1）312，x2y2(0),tany(x0)x

tan76

1133

33因为点M在第三象限，所以可取=因此，点M的直角坐标为(2,7).6

注意:直角坐标化成极坐标时，通常有不同的表示法

(即：直角坐标化成极坐标要限定0,02.)(极角相差2倍,)一般只要取[0,就可以了2). 巩固练习：求下列点的极坐标

3)

C(3,5)

E(4,0)

F(0,2)

A(1,3)

B(3,3)

D(0,(注意：直角坐标化成极坐标要限定0,02.)

思路：第一步：求极径x2y2y第二步：求极角（先求tanx在根据该点的直角坐标所在的象限，确定的值）

三、小结

1、互化公式的三个前提条件：(限定0,02)

①极点与直角坐标系的原点重合; ②极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；

③两种坐标系的单位长度相同。

2、

极坐标和直角坐标的互化关系式

（极直）xcos,ysin

（直极）作业布置

x2y2(0),tany(x0)x②

12 练习1.2

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