2.2.1 直线的参数方程板书设计及设计说明

高三数学（文科）

极坐标与参数方程（2）直线的参数方程的几何意义

编写人：于凌翔

学习目标：

1、了解参数方程，了解参数的意义；

2、能选择适当的参数写出直线、圆、椭圆的参数方程。

重难点：应用参数的几何意义解决综合性问题。 自主探究部分

知识回忆一：

1．参数方程的概念

x＝f(t)，一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上____的坐标x，y都是某个变数t的函数：y＝g(t).

并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在_____，那么方程叫做这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称_____.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做________. 2．直线的参数方程

过定点p0(x0,y0)且倾斜角为α的直线的参数方程为________(t为参数)，则参数t的几何意义是_______. 3．圆的参数方程

圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α为参数的圆的参数方程为__________________α∈[0,2π)．

4．椭圆的参数方程

x2y2以椭圆的离心角θ为参数，椭圆221(a＞b＞0)的参数方程为________________θ∈[0,2π)．

ab试一试：回答下列问题：

x＝3t＋2，1．参数方程y＝t－1x＝5cosθ，2．曲线y＝3sinθ

(t为参数)的普通方程为____________________．

(θ为参数)的左焦点的坐标是__________．

π3．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线4x＝t＋1，y＝(t－1)2

(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为__________．

1

x＝t，4．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为y＝t＋1x＝cosθ＋1，y＝sinθ

(参数t∈R)，圆C的参数方程为

(参数θ∈[0,2π))，则圆心C到直线l的距离是__________．

知识点二：

1个要点——参数t的几何意义

x＝x0＋tcosα，在直线的参数方程y＝y0＋tsinα

(t为参数)中t的几何意义是表示在直线上从定点p0(x0,y0)到直线上的任一点P(x，y)构成的有向线段p0p的数量且在直线上任意两点P1、P2的距离为

|p1p2|＝|t1t2|＝（t1t2）4t1t2

2知识点三：

3种方法——化参数方程为普通方程的方法

(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；

(2)利用三角恒等式消去参数；

(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．

将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．

3个结论——参数方程的应用

根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论．

(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1t2|；

(2)定点M0是线段M1，M2的中点⇒t1t2＝0；

课内探究部分

题型：（直线参数几何意义）

1．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同；

曲线C的方程是22sin(x1tcos)，直线l的参数方程为（t为参数，0），

4y2tsin设P(1,2)，直线l与曲线C交于A,B两点．

（1）当0时，求AB的长度；（2）求PA

2 2PB的取值范围．

2

小结：

针对训练：

练习1、在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

x22已知曲线C:sin2acos(a0)，过点P(2,4)的直线l的参数方程为y4数），l与C分别交于M,N．

2t2（t为参2t2（Ⅰ）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（Ⅱ）若PM,MN,PN成等比数列，求a的值．

练习2、在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为x22ty12t（t为参数），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

213sin2

（2）设点M2,1，曲线C1与曲线C2交于A,B，求MAMB的值．

3

课堂小结：

作业：

1、设直线l经过点M0(1,5),倾斜角为,

31)求直线l和直线xy230的交点到点M0的距离;

2)求直线l和圆x2y216的两个交点到点M0的距离的和与积.

2、过抛物线y4x的焦点作斜角为

23的直线与抛物线交于A、B两点，求|AB|. 4

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