一元二次方程的根的判别式优秀教学实录

一元二次方程的根的判别式

教学目标：

1.知识与技能：

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.

2.会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况.

3.熟练地使用求根公式解一元二次方程.

2.过程与方法：

1.通过探究一元二次方程的求根公式,提高学生的观察能力、分析问题能力,同时培养学生的数学建模意识和合情推理能力.

2.通过正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程,提高学生的综合运算能力.

3.通过探究求根公式的推导及应用过程,获得成功的数学体验,增强学好数学的信心.

3.情感态度价值观：

1.探究公式的过程中,小组之间的交流合作,进一步发展学生合作交流的意识和能力,让学生体验数学活动充满着创造和乐趣.

2.发展学生独立思考、勇于探索的创新精神,向学生渗透转化思想,让学生感受数学中的内在美.

教学重难点：

【重点】

根的判别式及用公式法解一元二次方程.

【难点】

一元二次方程求根公式的推导过程.

教学准备

【教师准备】

多媒体课件

【学生准备】

复习用配方法解一元二次方程的步骤.

教学设计: 一、

导入新课

1.用公式法解方程

问题1：根的情况和什么有关？有怎样的关系？

问题2：为什么？能从求根公式进行解释吗？

从求根公式即二、新课讲解

结论一:一般地,式子b2 -

4ac叫做一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)根的判别式,常用希腊字母“Δ”表示,即Δ= b2 -

4ac. 当Δ= b2 -

4ac

＞0时,方程有两个不相等的实数根; 2中做解释，必须使求根公式中的二次根式有意义，

.

当Δ= b2 -

4ac

＝0时,方程有两个相等的实数根; 当Δ= b2 -

4ac

＜0时,方程没有实数根. 当Δ= b2 -

4ac

≥0时,方程有实数根. 三、典型例题

例1：不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）（2）（3）

解:(1)∵

△=25-4×2×(-4)=25+32>0,

∴

原方程有两个不相等的实数根. (2)原方程可变形为 ∵

△=16-4×4×1=0,

∴

原方程有两个相等的实数根. (3)原方程可变形为

∵

△=(-7)2-4×5×5=49-100<0, ∴

原方程没有实数根. 例2.已知关于x的一元二次方程 x2(m3)xm10

试说明，无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根。

变式：教材P33，

小明同学发现判断一类方程有无实数根的简易方法：若ax+bx+c=0(a≠0)的系数a，c异号，那么方程一定有两个不等的实数根？

四、思考体会

例3:当m为何值时，关于x的一元二次方程(m-1)x+4x+1=0。

(1)有两个不相等的实数根? (2)有实数根？

2.注意:二次项系数不为零和△限制

变式:当m为何值时，关于x的方程(m-1)x2+4x+1=0，有实数根。

五、课堂总结：

(1)判别式的意义及一元二次方程根的情况. ①定义:把b2 -

4ac叫做一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.用“△”表示

②一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0). 2222

当△>0时,有两个不相等的实数根; 当△=0时,有两个相等的实数根; 当△<0时,没有实数根.反之亦然. (2)通过根的情况的研究过程,深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法. 六、作业布置

练习册相应练习

七、拓展加深

扩展：例：已知关于x的方程x+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根。

（1）求k的取值范围。

（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值。

解：（1）依题意得，△﹥0；即 : 2-4（2k-4）﹥0 ∴-8k+20﹥0, ∴k﹤2.5 解：（2）∵k﹤2.5，且k为正整数，∴k=1或2.又因为

该方程的根都是整数，所以△必须能开尽方。

当k=1时，△＝ -8k+20=12，不合，舍去。

当k=2时，△＝ -8k+20=4，符合。

∴k=2. 八、思考加深

1、当m为何值时,方程(m-5)x-2(m-1)x+m=0有实数根？

2x(m2)x2m0

2、已知关于x的方程

222（1）试无论m取何值，方程总有实数根？

（2）若等腰三角形的一边a=3，另两边b，c恰好是这个方程的两根，求三角形的周长