小结与思考ppt配套的板书设计及意图

二次函数的图象与性质

二次函数的概念及解析式

1.二次函数：一般地，表达式形如y＝ax＋bx＋c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数叫做x的二次函数，其中，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项. 2.三种表示方法

（1）一般式：y＝ax＋bx＋c（a≠0）；

（2）顶点式：y＝a（x－h）＋k（a≠0），其中抛物线的顶点坐标是（h，k）；

（3）交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标. 【温馨提示】三种解析式之间的关系：

顶点式展开、化简配方222一般式因式分解整式乘法交点式

3.二次函数解析式的确定

求解二次函数解析式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数解析式. ①当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax＋bx＋c；

②当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y＝a（x－h）＋k；

③当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为交点式y＝a（x－x1）（x－x2）.

二次函数的图象和性质

4.二次函数y＝ax＋bx＋c的图象和性质

函数

a 图象

b对称轴

直线x＝

－

2a2b4ac－b顶点

（－，）

2a4a坐标

b在对称轴的左侧，即x＜－时，y随x的增2ab增减性

大而减小；在对称轴的右侧，即当x＞－2a时，y随x的增大而增大，简记为“左减右增”

b当 x＝－

时，抛物线有最低点，即y有最2a24ac－b小值，y最小值＝

4a2222二次函数y＝ax＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）

a>0（开口向上）

a<0（开口向下）

2

b直线x＝－

2a2b4ac－b（－，）

2a4ab2a时，y随x的增大而增大；在对b称轴的右侧，即当x＞－时，2ay随x的增大而减小，简记为“左增右减”

b当x＝－时，抛物线有最高2a点，即y有最大值，y最大值＝

24ac－b

4a在对称轴的左侧，即当x＜－图象的特征

最值

5.二次函数y＝ax＋bx＋c图象与系数a，b，c的关系

项目\字母

字母的符号

a＞0 a＜0 b＝0 b ab＞0（a与b同号）

ab＜0（a与b异号）

c＝0 c c＞0 c＜0 2b－4ac＝0 22b－4ac b－4ac＞0 2b－4ac＜0 当x＝1时，y＝a＋b＋c 当x＝－1时，y＝a－b＋c 几种特定关系

当a＋b＋c＞0，即x＝1时，y＞0 当a－b＋c＞0，即x＝－1时，y＞0 a

6.二次函数图象的平移（上加下减，左加右减）

y＝a（x－h）＋k――→y＝a（x－h）＋k＋m；

m个单位y＝a（x－h）＋k――→y＝a（x－h）＋k－m；

m个单位y＝a（x－h）＋k――→y＝a（x－h＋m）＋k；

m个单位y＝a（x－h）＋k――→y＝a（x－h－m）＋k. m个单位

抛物线的平移

2222开口向上

|a|越大，开口越小

开口

向下

对称轴为y轴

对称轴在y轴左侧

对称轴在y轴右侧

经过原点

与y轴正半轴相交

与y轴负半轴相交

与x轴有唯一交点（顶点）

与x轴有两个不同交点

与x轴没有交点

向上平移2向下平移2向左平移2向右平移2126.1.（2018·百色中考）把抛物线y＝－x向右平移2个单位，则平移后所得抛物线的解析式为（

D ）

21212A.y＝－x＋2 B.y＝－（x＋2）

221212C.y＝－x－2 D.y＝－（x－2）

22

二次函数解析式的确定

3236.2.（2017·百色中考）经过A（4，0），B（－2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是

y＝－x＋x＋3

84

21.对于二次函数y＝（x－1）＋2的图象，下列说法正确的是（

C ）

A.开口向下 B.对称轴是x＝－1 C.顶点坐标是（1，2） D.与x轴有两个交点

2.二次函数y＝x＋4x－5的图象的对称轴为（

D ）

A.x＝4 B.x＝－4 C.x＝2 D.x＝－2 3.如果将抛物线y＝x＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（

C ）

22

A.y＝（x－1）＋2 B.y＝（x＋1）＋2 C.y＝x＋1 D.y＝x＋3 4.（2016·来宾中考）设抛物线C1：y＝x向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2，则抛物线C2对应的函数解析式是（

A ）

A.y＝（x－2）－3 B.y＝（x＋2）－3 C.y＝（x－2）＋3 D.y＝（x＋2）＋3 k25.函数y＝与y＝－kx＋k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（

B ）

x222222222

A

B

C

D 6.（2016·河池中考）二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论不正确的是（

C ）

A.a＜0 B.c＞0 C.a＋b＋c＞0 D.b－4ac＞0 22,（第6题图）)

2,（第7题图）) 7.（2017·贺州中考）二次函数y＝ax＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；

②2a＋b＜0；

③b－4ac＝0；

④8a＋c＜0；

⑤a∶b∶c＝－1∶2∶3，

其中正确的结论有

①④⑤

Ｗ. 8.已知二次函数y＝x＋bx＋c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是

y＝x－7x＋12 Ｗ.典题精讲精练

二次函数的图象与性质

例1 （2017·玉林中考）对于函数y＝－2（x－m）的图象，下列说法不正确的是（

D ）

A.开口向下 B.对称轴是x＝m C.最大值为0 D.与y轴不相交

【解析】根据二次函数的性质即可一一判断. 对于函数y＝－2（x－m）的图象，∵a＝－2＜0，∴开口向下，对称轴x＝m，顶点坐标为（m，0），函数有最大值0，故A、B、C说法正确. 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法.

二次函数图象与系数a，b，c的关系

22222

c2例2 （2016·贺州中考）抛物线y＝ax＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝x在同一平面直角坐标系内的图象大致为（

B ）

A

B

C

D 【解析】根据二次函数图象与系数的关系确定a，b，c的符号，然后根据一次函数和反比例函数的图象与性质确定答案. 由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，

c∴一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y＝的图象在第二、四象限. x

二次函数图象的平移

12例3 （2018·北部湾中考）将抛物线y＝x－6x＋21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为2（

D ）

1122A.y＝（x－8）＋5

B.y＝（x－4）＋5 221122C.y＝（x－8）＋3 D.y＝（x－4）＋3 22【解析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案. 12111222y＝x－6x＋21＝（x－12x）＋21＝[（x－6）－36]＋21＝（x－6）＋3，

22221122故y＝（x－6）＋3向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为y＝（x－4）＋3. 22

二次函数解析式的确定

例4 如图，A（－1，0），B（2，－3）两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax＋bx－3的图象上. （1）求m的值和二次函数的解析式；

（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围. 2

【解析】（1）将A，B的坐标分别代入y1，y2的解析式中，可求出m，a，b的值，也就能求出抛物线的解析

式；（2）根据A，B的坐标及两个函数的图象即可求出y1＞y2时自变量x的取值范围.【解答】解：（1）由于A（－1，0）在一次函数y1＝－x＋m的图象上，得－（－1）＋m＝0，

即m＝－1. 已知A（－1，0），B（2，－3）在二次函数y2＝ax＋bx－3的图象上，则

a－b－3＝0，a＝1，解得

4a＋2b－3＝－3，b＝－2，2∴二次函数的解析式为y2＝x－2x－3；

（2）由两个函数的图象知，当y1＞y2时，－1＜x＜2. 【点评】此题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法以及函数图象的意义.

2121.对于二次函数y＝－x＋x－4，下列说法正确的是（

B ）

4A.当x＞0时，y随x的增大而增大

B.当x＝2时，y有最大值－3 C.图象的顶点坐标为（－2，－7）

D.图象与x轴有两个交点

2.（2016·来宾中考）已知函数y＝－x－2x，当

x＜－1 时，函数值y随x的增大而增大.

a23.函数y＝ax＋1与y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

B ）

x2

A

B

C

D

24.（2018·安顺中考）已知二次函数y＝ax＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，分析下列四个结论：

①abc＜0；②b－4ac＞0；③3a＋c＞0；④（a＋c）＜b. 其中正确的结论有（

B ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

225.（2016·柳州中考）将抛物线y＝2x的图象向上平移1个单位后，所得抛物线的解析式为y＝

2x＋1 Ｗ. 6.（2017·贵港中考）将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（

C ）

222

A.y＝（x－1）＋1 B.y＝（x＋1）＋1 C.y＝2（x－1）＋1 D.y＝2（x＋1）＋1

7.（2016·贺州中考）如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y＝ax＋bx＋c经过O，A，E三点.

22222

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求AD的长；

（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标.解：（1）∵四边形ABCO是矩形，B（10，8），∴A（10，0）. ∵抛物线经过A，E，O三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得

100a＋10b＋c＝0，10

36a＋6b＋c＝8，解得b＝，3c＝0，1210∴此抛物线的解析式为y＝－x＋x；

33（2）由题意可知，AD＝DE，BE＝10－6＝4，AB＝8. 设AD＝x，则ED＝x，BD＝AB－AD＝8－x. 在Rt△BDE中，由勾股定理得ED＝EB＋BD，即x＝4＋（8－x），解得x＝5，∴AD＝5；

1210（3）∵y＝－x＋x，∴其对称轴为x＝5. 33∵A，O两点关于对称轴对称，∴PA＝PO. 当P，O，D三点在一条直线上时，PA＋PD＝PO＋PD＝OD，此时△PAD的周长最小. 连接OD交对称轴于点P，则该点即为满足条件的点P，由（2）可知点D的坐标为（10，5）. 1设直线OD解析式为y＝kx，由点D的坐标可得5＝10k，解得k＝，

2155∴直线OD解析式为y＝x，令x＝5，可得y＝，∴点P的坐标为5，. 222

222222c＝0，1a＝－，3