5.1 二次函数优秀课堂实录

《二次函数》第一课时教案

扬州中学教育集团树人学校 王久江

一．教学目标: 1.通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义。

2.让学生进一步感悟数学来源于生活，又服务于生活的本质；增强学生数学建模意识。

二．教学重点：

理解二次函数概念，准确应用特征数a、b、c解决问题。

三．教学难点：

实际问题中二次函数模型的构建。

四．教学方法： 问题驱动法，小组合作探究法，类比学习法。

五．学情分析：

本节课是初中数学二次函数内容的概念引入课，从“数学来源于生活”出发，本课以学生熟悉的实例引入；遵循“温故而知新”的理念，借一次函数、反比例函数等概念类比学习二次函数的概念；突出“数学服务于生活”的本质，运用本节课的数学知识解决实际问题；向着“提升学生数学素养”的目标，进一步增强学生数学建模意识，提升学生数学学习能力。

二次函数是初中数学综合性强、难度高、题型广的一块内容，概念教学成功与否直接关系到学生后续学习的顺利程度。这一章节内容丰富，既可以看成是前面一元二次方程的升华，也是初中数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想等思想方法的大集结。

学生在学习二次函数前已有一次函数和一元二次方程等知识储备，有了两年多的初中数学学习经历，已形成了一定的数学学习方法和策略。

六．教学过程

（一）旧知复习、问题情境导入：

1.正方形的边长为xcm，周长为ycm， y与x关系可以表示为 . 22.矩形的两邻边长为xcm，ycm，面积为20cm, y与x关系可以表示为 . 3.问题1:正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为 . 问题2:化工厂在一月份生产某种产品200吨，三月份生产y吨，则y与月平均增长率x的关系是_____________________ 问题3:有一个矩形，它的长与宽的和为30cm，设长为x，矩形面积为y，则y与x的函数关系是______________________ 上述问题中y是x的一次函数吗？ y是x的正比例函数吗？ y是x的反比例函数吗？这些函数有什么共同点? （二）新知呈现：

1.什么样的函数叫二次函数？

定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。

a是二次项系数

b是一次项系数

C是常数项

二次函数的特殊形式：

2当b＝0时， y＝ax＋c

2当c＝0时， y＝ax＋bx

2

当b＝0，c＝0时， y＝ax

2．例题讲解

例1．下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项. -1 (1) y=3(x-1)²+1 (2) y=x+x (3) s=3-2t²

-2(4) y=(x+3)²-x² (5)y=x-x (6) v=10π r²

2例2. 已知函数y=ax+bx+c. （1）当a,b,c是怎样的数时，它是正比例函数? 答：_________________ （2）当a,b,c是怎样的数时，它是一次函数? 答：______________________ （3）当a,b,c是怎样的数时，它是二次函数? 答：______________________

例3. m取何值时，y= (m-1)x

例4．已知函数y=（m+3）xm22m(m-1） 是二次函数？

7，

（1）当m取什么值时，此函数是正比例函数；

（2）当m取什么值时，此函数是反比例函数；

（3）当m取什么值时，此函数是二次函数.

（三）进步的阶梯：

1．下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为( ) 22 2 2A、 y=ax+bx+c B、y=x-4x+1 C、y=x D、y=2+ √x2+1

2函数 y=(m-n)x+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A. m、n是常数，且m≠0 B. m、n是常数，且n≠0 C. m、n是常数，且m≠n D. m、n为任何实数

2.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s与半径r之间的关系式. 当r为4时s为多少?

23.已知二次函数y=ax+bx,当x=-1时，y=7；当x=2时，y=10,求a、b的值

4.将进货单价为40元的商品按50元卖出时,就能卖出500个,已知这种商品每涨1元,其销售量就会减少10个,设售价定为x元(x＞50)时的利润为y元。试求出y与x的函数关系式，并按所求的函数关系式计算出售定价为80元时所得利润。

5.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，（1）设花圃的宽AB为x米，围成的花圃的面积为ym，求y关于x的函数关系式，

y是x的二次函数吗？（2）试确定自变量x的取值范围；（3）若此时花圃的面积刚好为45m，求此时花圃的宽．（4）★能围出比45m更大的面积吗？试说明。

222

（四）课堂小结：

二次函数的定义、一般形式；一般形式中a、b、c的取值要求以及值的确定等等。

类比、配方等数学思想方法。

（五）作业：

完成课后作业，进一步理解、掌握本节课所学知识、方法；预习下节课内容。

【课后巩固练习】

1.从边长为15cm的正方形铁片中间剪去一个边长为xcm的小正方形铁片，则剩下的四方框铁片的2面积y（cm）与x（cm）间的函数关系为_______________．

2.化工厂在一月份生产某种产品200t，三月份生产yt，则y与月平均增长率x的关系是_________．

3.矩形的长x与宽的和是14，则矩形面积S与x的函数关系式为___________，自变量的取值范围是______________。

24.函数y=（m－n）x＋mx＋n是二次函数的条件是 （ ）

A．m、n为常数，且m≠0

C．m、n为常数，且n≠0

B．m、n为常数，且m≠n D．m、n可以为任何常数

5.下列函数中，二次函数是 （ ）

66A．y=6x＋1 B．y=6x＋1 C．y=＋1 D．y=2＋1 xx26.某校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到8万册，若设这两年的年平均增长率为x，则可列方程为 ______________。 7.已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值y为4,当x=2时,函数值y为﹣5, 求这个二次函数的解析式.

8.某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（台）之间的关系如下表：

（1）若日销售量y是销售价x的一次函数，求这个一次函数. （2）当每件产品的销售价定为145元时，日销售利润为多少？

（3）若日销售利润为w元，求w与x的函数关系式。

x（元）

130 150 165

y（台）

70 50 35

9.如图，某校小农场要盖一排三间矩形

的羊圈，打算一面利用一堵旧墙，其余各面用

木材围成栅栏.该校计划用木材围出总长24m的 栅栏.设每间羊圈的长为xm. (1)用含x的关系式来表示围成三间羊圈所利用的旧墙的总长度L和三间羊圈的总面积S；

(2)S可以看成x的什么函数？这里的自变量x的取值范围有什么限制？

10.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元.，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经过市场调查发现，如果每件衬衫每降1元，商场平均每天可多售出2件.设每件衬衫降价x元，每天的利润为y元，

（1）试写出y与x之间的函数关系式；

（2）若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

★（3）降价为多少时，获利最大？