5　不确定性关系名师教学实录

17.5 不确定关系

胡青友

教材：人教版选修3-5 一、教学目标：

1．了解不确定关系的内容。

2．体会数学工具在物理学发展中的作用。

3．了解模型在物理学发展中的作用及其局限性。

4．能对经典物理学和量子力学有个基本的见解。

二、教学重难点

1．重点：不确定关系的表达式

2．难点：微观粒子波粒二象性的理解

三、教学准备

激光器、衍射光栅、PPT课件

四、教学过程

1．图片展示（第五次索尔维会议）

简介：索尔维国际物理学化学研究会是由比利时企业家索尔维与1912年创办，位于布鲁塞尔。1927年10月，第五次索尔维会议的主题是“电子和光子”，引起了爱因斯坦和波尔的论战。爱因斯坦抛出了一句“上帝不掷骰子”，反对海森伯的不确定性原理。参加这次会议的29人中有17人获得了诺贝尔奖。

图片命名：量子力学的“英雄时代”——史上最聪明的照片

2．回顾前面学习的内容

（1）德布罗意波的统计解释：玻恩提出概率波，认为个别微观粒子在何处出现有一定偶然性，但大量粒子在空间何处出现的空间分布服从一定的统计规律。

（2）经典波动与德布罗意波（物质波）的区别：经典的波动（如机械波、电磁波等）是可以测出的、实际存在于空间的一种波动。而德布罗意波（物质波）是一种概率波。简单的说，是为了描述微观粒子的波动性而引入的一种方法。

（3）根据你掌握的知识，尽可能简洁、全面地描述微观世界波粒二象性的图景。

答：微观世界的能量是一份份的，即微观粒子。我们无法确定微观粒子的位置和动量，能确定的是微观粒子在空间出现的概率，这个概率可以通过波动规律确定，这就是微观粒子的波动性。对于大量粒子，这种概率分布导致确定的宏观结构。

【讲述】在经典力学中，粒子（质点）的运动状态用位置坐标和动量来描述，而且这两个量都可以同时准确地予以测定。

【问题】举例说明，在经典物理学中，我们可以同时确定物体的位置和动量。

【回答】例如，火车以一定的速度在一定时刻经过车站，可准确的确定其位置和动量。再例如，物体在平抛运动过程中，也可以确定其位置和动量。

【问题】然而，对于具有波粒二象性的微观粒子来说，是否也能用确定的坐标和确定的动量来描述呢？

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3．演示实验：单缝衍射实验（包括分析）

如图所示，一束激光以速度v沿oy轴射向狭缝。光子在中央主极大区域出现的几率最大，对应的光强也越大，把它在坐标系中表现出来。

如果我们仍用坐标x和动量p来描述微观粒子的运动状态，那么请问：一个微观粒子通过狭缝的瞬时，它是从缝上哪一点通过的呢？也就是说，光子通过狭缝的瞬时，其坐标x为多少？我们无法准确地回答，因为此时该光子究竟在缝上哪一点通过是无法确定的，即我们不能准确地确定该光子通过狭缝时的坐标。

我们可以确定的是位置在x方向上的不确定量△x=a。

同一时刻，由于衍射效应，粒子的速度方向有了改变。而且衍射的规律是：狭缝越小，产生的中央亮条纹越宽，即对应的动量的范围越大。

【解释】微观粒子具有波动性，会发生衍射，大部分粒子散布在中央亮条纹之内。这些粒子在到达狭缝之前沿着水平方向，但在经过狭缝之后有些粒子跑到缝的投影位置之外。这时，我们可以说粒子具有了与原来运动方向垂直的动量。由于哪个粒子到达屏上的哪个位置是随机的，所以粒子在垂直方向上的动量也是不确定的，不确定量的大小可以由中央亮条纹的宽度来衡量。

4．不确定性关系

德国物理学家海森伯利用数学方法对微观粒子的运动进行分析，得到：

用△x

表示粒子位置的不确定量，用△px表示粒子在x方向上的不确定量，有

xpxh

4式中h为普朗克常量。这就是不确定关系（uncertainty relation）。

5．不确定关系式的理解

（1）微观粒子的位置和动量不可能同时准确的测量。

微观粒子的坐标测得愈准确(△x→0)，动量就愈不准确(△px→∞)；

微观粒子的动量测得愈准确(△px→0)，坐标就愈不准确(△x→∞)。

【注意】不确定关系不是说微观粒子的坐标测不准；也不是说微观粒子的动量测不准；更不是说微观粒子的坐标和动量都测不准；而是说微观粒子的坐标和动量不能同时测准。

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例题解析

例1．一颗质量为10g的子弹，具有200m/s的速率，其动量的不确定范围为动量的0. 01%(在宏观范围是十分精确了)，则该子弹位置的不确定量范围为多大? 【解析】子弹的动量p=mv=2kg·m/s 动量的不确定范围△P=0.01%p=2×10-4kg·m/s 由不确定关系式得，子弹位置的不确定范围

h6.63103431xm2.610m

44p43.142.010【说明】我们知道，原子核的数量级为10-15m，所以，子弹位置的不确定范围是微不足道的。可见子弹的动量和位置都能精确地确定，不确定关系对宏观物体来说没有实际意义。

例2．一电子具有200 m/s的速率，动量的不确定范围为动量的0.01%(这已经足够精确了)，则该电子的位置不确定范围有多大?（电子的质量m=9.1×10-31kg) 【解析】电子的动量为p=mv=1.8×10-28kg·m/s 动量的不确定范围△P=0.01%p=1.8×10-32kg·m/s 由不确定关系式，得电子位置的不确定范围

h6.6310343xm2.910m

324p43.141.810【说明】我们知道原子大小的数量级为10-10m，电子则更小。在这种情况下，电子位置的不确定范围比原子的大小还要大几亿倍，可见企图精确地确定电子的位置和动量已是没有实际意义。

（2）不确定关系的适用范围是微观粒子。

（3）不确定关系提供了一个判据：

当不确定关系的影响可以忽略时，可以用经典理论来研究粒子的运动；

当不确定关系的影响不可以忽略时，只能用量子力学理论来处理问题。

（4）微观粒子的坐标和动量不同时具有确定量是微观粒子具有波粒二象性的必然反映。不确定关系是自然界的一条客观规律，不是测量技术和主观能力的问题。

6．宏观物体和微观粒子的特性对比

宏观物体

有确定的坐标和动量，用牛顿力学描述。

有连续可测的运动轨道，可追踪各个物体的运动轨迹。

能量是连续的

不确定关系无实际意义

3 微观粒子

没有确定的坐标和动量，用量子力学描述。

有概率分布特性，不能分辨出各个粒子的轨迹。

能量是分立的（量子化）

遵循不确定关系

7．物理模型与物理现象

模型是人类认识自然的一种方式，模型是对自然的一种抽象，但模型并不是自然本身。请看两句话：

自然科学并不是自然本身，它是人类和自然关系的一部分。

——海森伯

科学不是一本定律汇编，也不是一本把各种互不相关的论据集合在一起的总目录，它是用来自由地发明观念和概念的人类智力的创造物。

——爱因斯坦《物理学的进化》

【问题】请你对这两句话发表自己的见解。

学生：……

讲述：自然太复杂，例如要分析一个放在桌上的杯子的受力情况，这是一个不可能的任务，杯子随地球转动，太阳系和宇宙都在运动，所有宇宙中的物体对这个杯子都有影响，要完全弄清其受力情况是不可能的。在这样的情况下科学家想到了模型，模型是对自然界的一种理想化，是一种高度的抽象，完全剔除了次要因素的影响，突出了主要矛盾。这是科学，它是人与自然关系的一部分。

模型不是真实的自然，而是人与自然关系的一部分。

最后共同来看一段话：

光是波还是一种光子呢？一束电子是一种基本粒子还是一种波呢？实验迫使物理学去考虑这些基本问题。在寻求它们的解答时，我们不是像描述空间与时间中的现象那样来描述原子现象的，而且是进一步回避掉旧的机械观的。量子物理学所建立的规律是支配集体的，而不是支配个体的，所描述的不是特性而是几率，它不建立揭露体系未来的规律，而只建立决定几率随时间变化以及关联于个体所组成的大集体的规律。 ——爱因斯坦《物理学的进化》

五、板书设计

§17.5 不确定关系

一、光——具有波粒二象性

光的干涉、衍射；电磁理论——光的波动性

光电效应、康普顿效应——光的粒子性

二、粒子的波粒二象性（微观世界）

微观世界→能量分立→粒子→概率符合波动理论（概率波）

三、单缝衍射实验

粒子位置的不确定量△x=a

缝越窄，中央亮条纹越宽

△x越小，则△px越大

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四、不确定关系

xpxh

4【理解】

1．微观粒子的位置和动量不能同时具有确定值。

2．适用范围：微观粒子。

3．判据：不确定关系有影响→量子理论；不确定关系没有影响→经典理论。

4．本质：微观粒子的波粒二象性的必然反映。是自然界的客观规律。

六、教学后记

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