复习题优秀公开课教案

一次函数与一次方程（组）、不等式的关系

一、确定为关键教学点的理由

九年级的学生对于一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的每个知识点都比较了解，但是对于它们之间的本质联系并不是很清楚。本专题以一次函数为载体，把一次函数和一元一次方程、二元一次方程组及一元一次不等式联系起来，让学生明白数学问题的多种表述形式并理解这些知识之间的联系，感悟化归与转化的函数思想，通过实例并结合一次函数的图象来提高解决问题的能力。基于以上理由，我把本专题确定为关键教学点。

二、学情分析

学生对于解一元一次方程、解二元一次方程组、解一元一次不等式以及用待定系数法求一次函数解析式等几个知识点掌握还是较好，但对于一次函数实际上可看成是一个二元一次方程和两条直线的交点可看成是相应的二元一次方程组的解的理解还不是很到位，以及对于一次函数当因变量y的取值范围确定时求自变量x的取值范围，实际上可转化成求不等式或不等式组自变量x的取值范围，这几个知识点间的内在联系还是比较模糊不清。

三、复习目标

1.

本专题主要从方程、不等式与函数之间的内在联系进行研究，即表面上是方程或者不等式的问题，实际却可以用函数思想来解决。

2.

体会用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想。

重点：探究一次函数、一次方程、一次不等式之间的本质联系。

难点：利用函数思想解决方程与不等式问题。

四、教学过程设计

模块1：一次函数和一元一次方程，不等式的关系

题组一：

1.已知一次函数y2x1；

当y ＝ 0时，自变量x的值为 ； 当y ＝ 3时，自变量x的值为 ； 当y ＝－5时，自变量x的值为 .

1

功能分析：学生可以根据y的取值分别列出相应的一元一次方程，特殊地，当y＝0时，得到的一元一次方程的解即是一次函数与x轴交点的横坐标，即一次函数与x轴交点坐标是10. －，22.已知一次函数y2x1，

当y > 0时，自变量x的取值范围是 ；

当y < －1时，自变量x的取值范围是 ；

当y > 3时，自变量x的取值范围是 .

功能分析：学生根据已有认知可以得到相应的不等式2x10,2x11,2x13，从而将问题转化成一元一次不等式问题. 设计意图：本题组练习将一元一次方程和一元一次不等式通过函数形式进行呈现，让学生复习回顾一元一次方程、一元一次不等式等熟悉的知识，让学生感悟他们之间的联系. 已知一次函数的表达式，当其中一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次方程确定另一个变量的值；当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取值范围. 题组二：

3.已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象如图（1）所示, 则关于x的方程kx＋b＝0的解为 ； 关于x的不等式kx＋b＞0的解集为 ； 关于x的不等式kx＋b＜0的解集为 .

图（1）

4.若在图（1）同一坐标系中，画出另一条直线yx2，则这两条直线有交点吗？

若直线yx2在直线y＝kx＋b的下方，则对应的x的取值范围是 .

5.如图（2）观察图象，解决下列问题：

（1）2x4=x1的解是 ；

（2）2x4>x1的解集是 ；

（3）x12x40的解集是 .

图（2）

2

功能分析：令y12x4，y2x1当取到同一个x的值时，所对应的y1、y2的取值，

它们的大小关系即为2x4与x1的大小关系。

设计意图：通过图象，数形结合让学生感受不等式的解集与图象上点的坐标之间的联系. 理解一次函数图象的位置关系问题可以转化成不等式的解集问题. 课堂小结：

(Ⅰ)一次函数与一元一次方程的关系：

从数的角度看：求ax+b=0(a≠0)的解即是求x为何值时y=ax+b的值为0；

从形的角度看：求ax+b=0(a≠0)的解即是确定直线y=ax+b与x轴交点的横坐标。

(Ⅱ) 一次函数与一元一次不等式的关系: 从数的角度看：求ax+b>0(a≠0)的解即是求x为何值时y=ax+b的值大于0；

求a1xb1a2xb2的解即是求x为何值时y1a1xb1的值大于y2a2xb2的值。

从形的角度看：求ax+b>0(a≠0)的解那是确定确定直线y=ax+b在x轴上方的图象所对应的x值。

求a1xb1a2xb2的解即是求x为何值时y1a1xb1的图象在y2a2xb2的上方。

模块2：一次函数和二元一次方程组的关系

题组三：

6.在同一坐标系中，直线y2x5与直线yxm交于点A(1,－3),则实数m的值为 ；

2xy5x17.若关于x，y的方程组的解为，则实数m的值为 ；

xymy3功能分析：这两题一起呈现可以让学生分组进行，通过对比含参的一次函数与一元一次方程之间的关系.

3

题组四：

8.由图（3）可知：关于x，y的方程组的解为 ；

2xy1

xy42x2y49.关于x，y的方程组的解的情况如何? xy4 ； 图（3）

一次函数yx2与yx4的图象之间有何位置关系? 你能从中“悟”出什么?

；

功能分析：没有一组x、y的值同时适合方程xy4和xy2，

一次函数yx2与yx4的图象是两条平行的直线. 2x-y110.关于x，y的方程组11的解的情况又如何? .

xy22设计意图：此题以方程为背景呈现，除了用方程解，引导学生是否可以从函数的角度来解题，让学生体会两条直线的交点实质上可以转化为二元一次方程组来解决，以方程的视角来看，一次函数其实就是一个二元一次方程。让学生感悟二元一次方程与一次函数之间的关系，感受用函数解决问题的优越性。

课堂小结：

二元一次方程组有一个解一次函数的图象有一个交点；

二元一次方程组无解一次函数的图象平行，即无交点；

二元一次方程组有无数个解一次函数的图象重合，即有无数个交点. 模块3：当堂检测

1.已知方程3x6x4的解是x是 ；

5，则直线y3x6与yx4的交点

2，6，

2.已知一次函数y13x3与y22x8在同一坐标系内的交点坐标是1则当y1y2时，x的取值范围是 ；

4

3.已知直线yx3与y2x2的交点为5，8，则方程组xy30的解2xy20是

；

4.图(4)中的两条直线l1，l2的交点坐标可以看做

是方程组

的解；

图(4)

5.以方程组xy3m0的解为坐标的点P(x，y)一定不在第 象限；

xy40xy23没有解，则一次函数y=2-x与y=x的图象位置关系22x2y3108x的图象如图（5）所示，请根据336.关于x、y方程组是

； 7.在同一坐标系下，直线l1:yx6与l2:y图象回答问题：

108x0的解为 ；

33108x的解集为 ；

②不等式x633①方程③方程组xy6的解为 ；

10x3y8图(5)

设计意图：通过本题组的训练，进一步提升学生从函数与方程两个独立的角度分析问题，理解两者之间的关系，让学生感受解决复杂问题时需要分析其真正本质的内涵，引导学生通过画图象来解决此问题，跟学生一起归纳总结出一次函数与一次方程，一次不等式的关系；通过归纳促使学生及时反思。

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模块4：拓展提高

在同一坐标系中画出直线y1x3与直线y2x的图象，根据图象请你提出问题2并解决问题（要求：至少一个函数问题，一个方程问题，一个不等式问题）

设计意图：通过开放性问题，让学生分别以函数、方程、不等式来表述题目，进一步体会三者之间的联系.学生不止能自主获得两图象的交点坐标，方程组的解，图象位置相对应的自变量的取值范围，还能发散思维，得到预设以外的一些问题，如两直线垂直，三角形面积，线段长，相似等问题，从而实现数学的深度学习。

模块5：小结反思

（1）今天我们复习了哪些知识？

（2）我们是如何学习的？

（3）你能用今天学习的方法复习二次函数吗？

设计意图：通过引导学生梳理、建立知识之间的联系，帮助学生类比得到今后的学习方法，这样学生在学生中才能把书“读薄”，而自身的知识结构却逐步丰满.

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