2.1.2 曲线的参数方程教学实录

第2课时

参数方程

魏李银

最新考纲

考情考向分析

了解参数的意义，重点考查直线参数方程中参数1.了解参数方程，了解参数的意义．

2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程. 的几何意义及圆、椭圆的参数方程与普通方程的互化，往往与极坐标结合考查．在高考选做题中以解答题形式考查，难度为中档.

1．参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一x＝ft，个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．

y＝gt

2．常见曲线的参数方程和普通方程

点的轨迹

直线

普通方程

y－y0＝tan α(x－x0)

参数方程

x＝x0＋tcos α，(t为参数) y＝y0＋tsin αx＝rcos θ，(θ为参数) y＝rsin θx＝acos φ，(φ为参数) y＝bsin φ2x＝2pt，(t为参数) y＝2pt

圆

x2＋y2＝r2

x2y2＋＝1(a>b>0)

a2b2y2＝2px(p>0)

椭圆

抛物线

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) x＝ft，(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(

√

) y＝gt

x＝x0＋tcos α，πα≠(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α(t为参数)．参数2的直线l的参数方程为y＝y0＋tsin α

t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量．(

√

) x＝2cos θ，(3)方程(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(

√

) y＝1＋2sin θx＝2cos t，π(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原3y＝4sin t

点，则直线OM的斜率为3.(

×

)

题组二

教材改编

x＝－1＋cos θ，2．[P25例3]曲线(θ为参数)的对称中心(

) y＝2＋sin θ

A．在直线y＝2x上

B．在直线y＝－2x上

C．在直线y＝x－1上

D．在直线y＝x＋1上

答案

B x＝－1＋cos θ，cos θ＝x＋1，解析

由得

y＝2＋sin θ，sin θ＝y－2.

所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．

x＝t，x＝3cos φ，3．[P37例2]在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：y＝t－ay＝2sin φ

(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．

解

直线l的普通方程为x－y－a＝0，

x2y2椭圆C的普通方程为＋＝1，

94∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，

则3－a＝0，∴a＝3.

题组三

易错自纠

x＝1＋t，4．直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l的斜率．

y＝2－3t

解

将直线l的参数方程化为普通方程为

y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.

x＝－2＋cos θ，y5．设P(x，y)是曲线C：(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求的取值范xy＝sin θ

围．

x＝－2＋cos θ，解

由曲线C：(θ为参数)，

y＝sin θ

得(x＋2)2＋y2＝1，表示圆心为(－2,0)，半径为1的圆．

yy表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设＝k，则原问题转化为y＝kx和圆有交点的问题，xx即圆心到直线的距离d≤r，所以y33所以的取值范围为－，. x336．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的|－2k|33≤1，解得－≤k≤，

2331＋kx＝23t＋m，正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是1y＝2t(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

(t为参数)．

(2)设点P(m,0)，若直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．

解

(1)曲线C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，

化为ρ2＝2ρcos θ，可得直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0. x＝23t＋m，直线l的参数方程是1y＝2t消去参数t可得x＝3y＋m，

即3y－x＋m＝0.

(t为参数)，

x＝23t＋m，(2)把1y＝2t

(t为参数)代入方程x2＋y2＝2x，

化为t2＋(3m－3)t＋m2－2m＝0，①

由Δ>0，解得－1

∴t1t2＝m2－2m. ∵|PA|·|PB|＝1＝|t1t2|，∴m2－2m＝±1，

解得m＝1±2或m＝1，满足Δ>0.

∴实数m＝1±2或m＝1.

题型一

参数方程与普通方程的互化

x＝－5＋22t，1．(2018·开封调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2y＝5＋t2坐标方程为ρ＝4cos θ. (1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；

(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极1(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，2得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．

解

(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，

即(x－2)2＋y2＝4. 直线l的普通方程为x－y＋25＝0. 1(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，

2y2得(2x－2)＋y＝4，即(x－1)＋＝1，

4222再将所得曲线向左平移1个单位长度，

y2得曲线C1：x＋＝1，

42x＝cos θ，则曲线C1的参数方程为(θ为参数)．

y＝2sin θ

设曲线C1上任一点P(cos θ，2sin θ)，

则点P到直线l的距离

|cos θ－2sin θ＋25|d＝

2＝|25－5sinθ＋φ|110其中tan φ＝－，

≥22210. 2所以点P到直线l的距离的最小值为2．在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)，在这本晦涩难懂的书中有一个|PA|著名的几何问题：“在平面上给定两点A，B，设P点在同一平面上且满足＝λ(λ>0且λ≠1)，|PB|

P点的轨迹是圆．”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”．已知点M与长度为3的线段|OM|1OA两端点的距离之比为＝，建立适当坐标系，求出M点的轨迹方程并化为参数方程．

|MA|2解

由题意，以OA所在直线为x轴，过O点作OA的垂线为y轴，建立直角坐标系，

设M(x，y)，则O(0,0)，A(3,0)．

x2＋y2|OM|11因为＝，即＝，

|MA|2x－32＋y22化简得(x＋1)2＋y2＝4，

所以点M的轨迹是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆．

x＝2cos θ－1，由圆的参数方程可得

y＝2sin θ.

思维升华

消去参数的方法一般有三种

(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数．

(2)利用三角恒等式消去参数．

(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．

将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．

题型二

参数方程的应用

x＝3cos θ，典例

(2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

(θ为参数)，y＝sin θx＝a＋4t，直线l的参数方程为(t为参数)．

y＝1－t

(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；

(2)若C上的点到l的距离的最大值为17，求a. x22解

(1)曲线C的普通方程为＋y＝1. 9当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0. x＋4y－3＝0，2由x

2＋y＝1，9x＝3，解得或y＝0

24y＝25，21x＝－，25

2124－，. 从而C与l的交点坐标是(3,0)，2525(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝|3cos θ＋4sin θ－a－4|. 17当a≥－4时，d的最大值为a＋9

. 17a＋9由题设得＝17，所以a＝8；

17当a<－4时，d的最大值为－a＋1由题设得＝17，

17所以a＝－16. 综上，a＝8或a＝－16. 思维升华

(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决．

x＝x0＋at，(2)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几y＝y0＋bt－a＋1. 17

何意义解题．

x＝－3＋3t，x2y2跟踪训练

(2017·吉林实验中学月考)已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为43y＝23＋t参数)．

(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；

(2)设A(1,0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与到直线l的距离相等，求点P的坐标．

x＝2cos θ，解

(1)椭圆C的参数方程为(θ为参数)，

y＝3sin θ直线l的普通方程为x－3y＋9＝0. (2)设P(2cos θ，3sin θ)，

则|AP|＝2cos θ－12＋3sin θ2＝2－cos θ，

P到直线l的距离

|2cos θ－3sin θ＋9|2cos θ－3sin θ＋9d＝＝. 22由|AP|＝d，得3sin θ－4cos θ＝5，

34又sin2θ＋cos2θ＝1，得sin θ＝，cos θ＝－. 55

833故P－，. 55题型三

极坐标方程和参数方程的综合应用

x＝2＋t，典例

(2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线y＝kt

x＝－2＋m，l2的参数方程为m(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为y＝k曲线C. (1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．

解

(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；

1消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．

ky＝kx－2，设P(x，y)，由题设得1

y＝x＋2.k消去k得x2－y2＝4(y≠0)．

所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．

(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．

ρcosθ－sinθ＝4，联立得

ρcos θ＋sin θ－2＝0，cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．

191故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝. 31010代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，

所以交点M的极径为5. 思维升华

在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．

x＝tcos α，跟踪训练

(2018·福州调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1：

(t为参数，t≠0)，y＝tsin α222

其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，曲线C3：ρ＝23cos θ.

(1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

解

(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，

曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0. x＋y－2y＝0，联立22

x＋y－23x＝0，x＝0，解得y＝0，22

x＝23，或3y＝2.

所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和33. 2，2(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.

因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(23cos α，α)．

α－π. 所以|AB|＝|2sin α－23cos α|＝4sin35π当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4. 6

1．(2018·保定模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为3y＝2t(1)写出⊙C的直角坐标方程；

1x＝3＋t，2

(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

解

(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，

所以x2＋y2＝23y，

所以⊙C的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝3. 13(2)设P3＋t，t，又C(0，3)，

22则|PC|＝3＋1t2＋3t－32＝t2＋12，

22故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，点P的直角坐标为(3,0)．

2．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为3y＝2t1x＝1＋t，2

(t为参数)，椭圆Cx＝cos θ，的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．

y＝2sin θ

解

直线l的参数方程化为普通方程为3x－y－3＝0，

y2椭圆C的参数方程化为普通方程为x＋＝1，

423x－y－3＝0，联立方程组2y2

x＋＝1，4x1＝1，解得或y1＝0

83y＝－，721x2＝－，7

183不妨取A(1,0)，B－，－，

77则|AB|＝1＋12＋0＋832＝16. 7772，x＝22t－3．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2y＝2t的圆的极坐标方程．

解

∵直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0，

∴原点到直线l的距离r＝2＝1. 2

(t为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l相切∴以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程为ρ＝1. x＝2t，4．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

2y＝2t

πθ＋(t为参数)，在以O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为ρsin4＝22，求曲线C1与曲线C2的交点个数．

解

曲线C1，C2化为普通方程和直角坐标方程分别为x2＝2y，x＋y－4＝0，联立2x＝2y，消去y得x2＋2x－8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故曲线x＋y－4＝0，

C1与曲线C2的交点个数为2. x＝－1－23t，5．已知直线l的参数方程为1y＝3＋t2(1)求圆C的直角坐标方程；

(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半πθ－. 轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin6πθ－的公共点，求3x＋y的取值范围．

(2)点P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin6πθ－，

解

(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin6π31θ－＝4ρsin θ－cos θ. 所以ρ2＝4ρsin622又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

所以x2＋y2＝23y－2x，

所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－23y＝0. (2)设z＝3x＋y，

由圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－23y＝0，

得(x＋1)2＋(y－3)2＝4，

所以圆C的圆心是(－1，3)，半径是2. x＝－1－23t，将1y＝3＋t2所以－2≤t≤2，

代入到z＝3x＋y，得z＝－t. 又直线l过C(－1，3)，圆C的半径是2，

所以－2≤－t≤2，

即3x＋y的取值范围是[－2,2]．

6．(2016·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

x＝tcos α，(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，求l的y＝tsin α

斜率．

解

(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．

设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入到C的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2

＝144cos2α－44. 315由|AB|＝10，得cos2α＝，tan α＝±. 83所以l的斜率为1515或－. 33

πθ＋.现以极点O为7．(2018·洛阳模拟)在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝42·sin4原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为3y＝－3＋t2为参数)．

(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P(－2，－3)，求|PA|·|PB|的值．

πθ＋＝4sin θ＋4cos θ，

解

(1)因为ρ＝42sin4所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，

所以x2＋y2－4x－4y＝0，

即曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8；

直线l的普通方程为3x－y＋23－3＝0. (2)把直线l的参数方程代入到圆C：

x2＋y2－4x－4y＝0中，

得t2－(4＋53)t＋33＝0，

4＋53±403－41t1,2＝，则t1t2＝33. 2点P(－2，－3)显然在直线l上．

由直线标准参数方程下t的几何意义知，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝33，所以|PA|·|PB|＝33. x＝－4＋cos t，x＝8cos θ，8．已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：(θ为参数)．

y＝3＋sin ty＝3sin θ1x＝－2＋t，2

(t

(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

x＝3＋2t，π(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：2y＝－2＋t

(t为参数)的距离的最小值．

解

(1)曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，

x2y2曲线C2：＋＝1，

649曲线C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；

曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

π(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，

23－2＋4cos θ，2＋sin θ. 故M2曲线C3为直线x－2y－7＝0，

M到C3的距离d＝5|4cos θ－3sin θ－13|，

54385从而当cos θ＝，sin θ＝－时，d取最小值. 555

x＝2cos θ，9．已知曲线C1的参数方程是(θ为参数)，以直角坐标原点为极点，x轴的正y＝2＋2sin θ

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝－4cos θ. (1)求曲线C1与C2的交点的极坐标；

(2)A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积(O为坐标原点)．

x＝2cos θ，x＝2cos θ，解

(1)由得

y＝2＋2sin θ，y－2＝2sin θ，

两式平方相加，得

x2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－4y＝0.①

由ρ＝－4cos θ，得ρ2＝－4ρcos θ，即x2＋y2＝－4x.②

①－②得x＋y＝0，代入①得交点为(0,0)，(－2,2)．

3π22，. 其极坐标为(0,0)，4(2)如图．由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大，

此时|AB|＝22＋4，点O到AB的距离为2. 1∴△OAB的面积为S＝×(22＋4)×2＝2＋22. 2

x＝3＋t，x＝acos φ，10．已知曲线C的参数方程是(φ为参数，a>0)，直线l的参数方程是y＝－1－ty＝3sin φ

(t为参数)，曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C的普通方程；

2π4π111ρ2，θ＋，Cρ3，θ＋在曲线C上，求(2)若点A(ρ1，θ)，B的值．

2＋2＋33|OA||OB||OC|2解

(1)直线l的普通方程为x＋y＝2，与x轴的交点为(2,0)．

x2y2又曲线C的普通方程为2＋＝1，

a3x2y2所以a＝2，故所求曲线C的普通方程是＋＝1. 432π4πρ2，θ＋，Cρ3，θ＋在曲线C上，即点A(ρ1cos θ，ρ1sin θ)，

(2)因为点A(ρ1，θ)，B332π2π，

Bρ2cosθ＋3，ρ2sinθ＋34π4π在曲线C上，

Cρ3cosθ＋3，ρ3sinθ＋3故1111112＋2＋2＝2＋2＋2

|OA||OB||OC|ρ1ρ2ρ32π4π122θ＋＋cos2θ＋＋

＝cosθ＋cos3342π4π122θ＋＋sin2θ＋

sinθ＋sin3332θ＋4π1＋cos2θ＋8π11＋cos33＋

＝1＋cos 2θ4＋＋2222θ＋4π1－cos2θ＋8π11－cos33

1－cos 2θ3＋＋22213137＝×＋×＝. 42328