1.2.2 极坐标系与直角坐标的关系教学创新设计

坐标系与参数方程

高考概览：1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；3.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程；5.了解参数方程，了解参数的意义．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．

[知识梳理] 1．极坐标与直角坐标

(1)极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做

，自极点O引一条射线Ox，叫做

；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系．

(2)点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点M，若设|OM|＝ρ(ρ≥0)，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角为θ，则点M可用有序数对

表示．

(3)极坐标与直角坐标的互化公式：在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，射线Ox的正方向为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系．设点P的直角坐标为(x，y)，它的极坐标为(ρ，ρ＝x＋y，x＝ρcosθ，θ)，则相互转化公式为yy＝ρsinθ，tanθ＝xx

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2．常用简单曲线的极坐标方程

曲线形状(特征)

过极点且与极轴成α角的直线

过(a,0)且垂直于极轴的直线

极坐标方程

θ＝α(ρ∈R) ρcosθ＝a

ρsinθ＝b

ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1) ρ＝r

ρ＝2rcosθ

ρ＝2rsinθ

π过b，2且平行于极轴的直线

过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线

圆心在极点，半径为|r|的圆

圆心在(r,0)，半径为|r|的圆

πr，圆心在2，半径为|r|的圆

直线的参数方程在交点问题中的应用

已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方x＝x0＋tcosα，程(t为参数)．

y＝y0＋tsinα

→→(1)若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则|M0M1||M0M2|＝|t1t2|，→|M1M2|＝|t2－t1|＝t2＋t12－4t1t2. t1＋t2(2)若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数方程为t1，t2，t3，则t3＝2.

(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0. [对点训练] 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

x＝tcosα，(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，求l的y＝tsinα，

斜率．

[解]

(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0. x＝tcosα，(2)解法一：由直线l的参数方程(t为参数) y＝tsinα

可知直线l的普通方程为y＝kx，其中k为直线l的斜率，则点C(－6,0)与直线l的距离d＝|－6k|. k2＋121510236k因为|AB|＝10，所以＋2＝25，解得k＝±3，

2k＋11515故直线l的斜率为3或－3. 解法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．

设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos2α－44. 315由|AB|＝10得cos2α＝8，tanα＝±3. 1515所以l的斜率为3或－3.