三元一次方程组的解法2优质课一等奖教案

8.4 三元一次方程组及其解法

教学目标: 1．知道三元一次方程组的概念，会用代入消元法、加减消元法解三元一次方程组. 2．经历解三元一次方程组的过程，进一步体验化归思想和消元的方法．

教学重点：

应用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组．

教学难点：

三元一次方程组转化为二元一次方程组. 教学过程: 教师活动

一．三元一次方程组：

1、引言：

前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法。对于有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决。实际上，在我们的学习和生活中会遇到不少含有更多未知数的问题。

2、新课导入

小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张. 分析：（1）这个问题中包含有三个未知数:

1元、2元、5元纸币的张数. （2）这个问题中包含有三个相等关系：

1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张，1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍，

1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元.

提问：问题中含有几个未知数？有几个相等关系？

你能根据等量关系列出方程吗? 设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张.根据题意，得

学生活动

生答：

问题中含有三个未知数，有三个相等关系。

生答：

它们都含有三个未知数. 每个方程中含未知数的项的次数是1？

1 设计意图

通过类比二元一次方程组的概念得出三元一次方程组的概念.

通过课堂练习再次强调概念中的关键点：“方程组中含有三个未知数”、“含未知数的项的次数都是一次”.

xyz12,x2y5z22,x4y.

提问：这个方程组中含有几个未知数，每个方程中含未知数的项的次数是多少？

提问：类比二元一次方程组的概念能否得出三元一次方程组的概念呢？

那么如何解三元一次方程组呢？

二、解三元一次方程组的思想方法及解法：

1、回顾解二元一次方程组的解题方法及思路：

解二元一次方程组有哪些方法？

这两种方法的实质是什么？

教师出示解三元一次方程组的思想方法：通过消元法将三元一次方程转化为二元一次方程组求解.

三元一次方程组

（消元）

转化

二元一次方程组

（消元）

转化

一元一次方程

解方程组：

xyz12,①

x2y5z22,②

③

x4y.

提问：这个方程组先消哪个未知数比较简便呢？用什么方法呢？

教师在投影展示解题过程：

解：由③代入①②得：

5yz12,④6y5z22.⑤

（教师在此说明：现在我们将三元一次方程组转化为了一个二元一次方程组）

解得：

y2,z2.

学生归纳概念：

三元一次方程组.

如果方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组．

生答：

代入消元法、加减消元法.

实质是消元，将“三元”转化为“二元”，进而转化为“一元”

生答：

先消x,用代入法，把③分别代入①式②式。

2

回顾二元一次方程的解题方法和思路，强调其中的化归和消元的思想.

本题的解题方法是代入消元，较简单，可由师生共同解决，教师作必要的引导. 通过此例让学生体会解三元一次方程组的思想方法亦是通过消元，将问题转化为二元一次方程组，进而转化为一元一次方程. 同时引出代入消元法解三元一次方程组.

把y=2代入③，得x=8. 所以原方程组的解是

x8,y2,z2.典例精析

例题1：解方程组

①

②

③

提问：观察此方程组，三个方程中同一个未知数的系数间有怎样的特征呢?

采取什么方法可以消元？

教师根据学生回答板书：

解：②×3＋③

，得

11x＋10z=35

④

①与④组成方程组

解这个方程组，得

1,把x＝5，z＝-2代入②，得y=3

因此，这个三元一次方程组的解为

通过例题，学

生可以总结出解

三元一次方程组

的思想方法，再

次强调解方程

（组）问题中的生答：

化归思想.

可以通过加减消元法先消去y,

将三元一次方程组转化为二元一次

方程组.

预设学生：

方程①中只含x,z,因此，可以

由②③消去y，得到一个只含x，z

的方程，与方程①组成一个二元一

次方程组.

生答解题过程：

解：②×3＋③

，得

11x＋10z=35

④

①与④组成方程组

解这个方程组，得

1,

把x＝5，z＝-2代入②，得y=3

因此，这个三元一次方程组的解为

3

例2：在等式

y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.

师生分析：遇到这类问题，先把x,y的值代入到等式中，得到关于a,b,c的方程组：

适时提问：

先消哪个元比较简便呢？为什么？

教师根据学生回答板书：

②－①，

得

a＋b=1

④

③－①，得

4a＋b=10

⑤

④与⑤组成二元一次方程组

解这个方程组，得

预设学生回答：

先消c,当某个未知数的系数相同或相反时，可以通过将两式相加或相减，从而消去此未知数.

预设生答：

②－①，

得

a＋b=1

④

③－①，得

4a＋b=10

⑤

④与⑤组成二元一次方程组

把

代入①，得

c=-5,

因此，这个三元一次方程组的解为

适时小结：

根据上述解方程组的特点，归纳出此类方程组的

解法为：

类型一：有表达式“x=···，”

用代入法. 类型二：缺某元，消某元. 类型三：相同未知数系数相同或相反，加减消元法

.

当方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数时，可以通过加减法，消元，以达到将三元一次方程组转化为二元一次方程组的目的.

但是两次消元目标应一致.

解这个方程组，得

把

代入①，得

c=-5,

由于解二元

一次方程组是前因此，这个三元一次方程组的解为

几节课的重要知识点，学生已熟练掌握，所以本节课的重点应放

在如何将三元一

次方程组转化为

二元一次方程

组.

4

当堂练习

1.

解方程组

预设生答：

1、通过观察未知数的系数，可采取①

+②求出y，

②+ ③求出z，最后再将y与z的值代入任何一个方程求出x即可.

解得x＝

6

，y＝

8

，

则x＝_____，y＝______，z＝_______. z＝

3

.

2、通过观察未知数的系数，可采取

两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则以x+y+z=5.

x＋y＋z的值为（

）

A.2

B.3

C.4

D.5

3、解: 设甲数为x，乙数为y，丙

数为z,根据题意，得

3．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的三分之一等于丙数的二分之一．求这三个数．

解得

三、课堂小结：

今天我们主要学习了哪些知识？你有何体会？

教师补充：

1、

三元一次方程组的解题思想方法与二预设生答：

元一次方程组的解题思想方法相类似. 1、

今天主要学习了什么叫做三元2、

今天的学习使我们再次体会了数学中一次方程组：

的化归的思想方法. 如果方程组中含有三个未知

数，且含未知数的项的次数都是一四、布置作业：

次，这样的方程组叫做三元一次方课后106页，习题8.4第1、2题解方程组

程组．

2、

解三元一次方程组的思想方法

主要是通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程组求解. 3、

今天我们学习了如何用代入消元法、加减消元法解三元一次方程组.

通过练习，目的使学生学会选择合理的方法消元,在实践中获取解决问题的经验.

课堂自助小结，让学生对所学的知识、方法、思想等作梳理和回顾.

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