阅读与思考　一次方程组的古今表示及解法名师教学设计2

8.4三元一次方程组解法

教学目标：

1、掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法,并能利用它解决问题.

2、在学习解三元一次方程组的过程中,感受消元转化的思想.

3、培养学生类比学习、敢于创新的精神.

教学重难点：

重点：

三元一次方程组的解法.

难点：

三元一次方程组的解法的选择.

教学过程：

情境导入1：

小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币,共计22元,其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍,求1元、2元、5元纸币各多少张.

教师利用投影出示问题,让学生进行讨论,怎样解决这个问题.

情境导入2：

某学校的篮球数比排球数的2倍少3个,足球数与排球数的比是2∶3,三种球共41个,那么这三种球各有多少个? 这里三种球的个数都是未知的,可设篮球有x个,排球有y个,足球有z个,根据等量关系,可列方程组

-

,

,前面学习了二元一次方程组的解法,如何把这个方程组转化成二元一次方程组,进而求解

呢?

新课教授：

一、三元一次方程组的定义

为解决前面的问题,如果我们设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张,可以建立哪些方程呢? x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y.

问题1 怎样才能保证各个方程中的未知数取值都一样呢?

,

,

问题2 观察上面的方程组与前面所学的二元一次方程组有何不同? (方程组中含有三个未知数.)

问题3 什么是三元一次方程组? 含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.

二、三元一次方程组的解法

(1)思路提示: 我们知道,二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数,化成一元一次方程求解.那么能不能用同样的思路,用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数,把它化成二元一次方程组呢? (2)消元过程: 让我们看前面列出的三元一次方程组:

,

,

仿照前面学过的代入法,我们可以把 分别代入 ,得到两个只含y,z的方程: 4y+y+z=12.

4y+2y+5x=22.

,它们组成方程组:

得到二元一次方程组之后,就不难求出y和z,进而可求出x.

(3)思路总结: 从上面的分析可以看出,解三元一次方程组的基本思路是:通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程.这与解二元一次方程组的思路是一样的.

三、解方程组

例1

解三元一次方程组:

,

,

分析：

方程 只含x,z,因此,可以由 消去y,得到一个只含x,z的方程,与方程 组成一个二元一次方程组.

解: ×3+ ,得11x+10z=35.④

与④组成方程组

,

,

解这个方程组,得

-

把x=5,z=- 2代入 ,得2×5+3y- 2=9, 所以y=.

,因此,这个三元一次方程组的解为

,

-

例2

在等式y=ax+bx+c中,当x=- 1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.求a,b,c的值.

分析：把a,b,c看作三个未知数,分别把已知的x,y的值代入原等式,就可以得到一个三元一次方程组.

解:根据题意,得三元一次方程组:

,

,

- ,得a+b=1.④

- ,得4a+b=10.⑤

④与⑤组成二元一次方程组

,

解这个方程组,得

-

,

2

把

代入 ,得c=- 5.

-

,因此

-

,

-

即a,b,c的值分别为3,- 2,- 5.

归纳：

(1)一般地,使三元一次方程等号两边的值相等的三个未知数的值,叫做三元一次方程的解;(2)三元一次方程组的三个方程的公共解,叫做三元一次方程组的解;(3)三元一次方程组的解是三个数,要将这三个数代入方程组中的每一个方程进行检验,只有这些数满足方程组中的每一个方程,这些数才是这个方程组的解.

课堂练习：

1.以

为解建立一个三元一次方程,不正确的是

(

)

- A.3x- 4y+2z=3

B.x- y+z=- 1

C.x+y- z=- 2

D. y- z=1

选C.

2.若方程x+y+m=4,x- y- 2m=- 1和x- 2m+2y=2有公共解,则x+y+m的值为

.

填4.

3.如图①所示,在第一个天平上,砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量;如图②所示,在第二个天平上,砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量.请你判断:1个砝码A与

个砝码C的质量相等.

填2.

①

②4.解方程组

答案

-

课堂小结：

用消元法解三元一次方程组的步骤: 利用消元法消去一个未知数,得到一个二元一次方程组; 解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值; 将两个未知数的值,代入原方程组中比较简单的一个方程,求得第三个未知数的值,把这三个未知数的值写在一起,就是所求三元一次方程组的解.