2.1.2 曲线的参数方程主要内容及教案内容

2.1.1 曲线的参数方程的教学设计

教学目标：

1．通过分析平抛运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会引入参数的必要性并理解参数方程、普通方程的概念

2．掌握圆的参数方程及其参数意义，并能运用圆的参数方程解决简单的最值问题。

3.掌握参数方程与普通方程相互转化的常见方法并能灵活应用

教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，灵活应用参数方程求最值。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

教学过程

一、复习回顾：

在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，直接确定曲线上的点的坐标x,y的关系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标x,y所要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程f(x,y)＝0。

二、师生互动，新课讲解：

引例1：一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放的救援物资准y 确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机？

温馨提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？

思考1：x，y的直接关系容易寻求吗？

分析:物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成：

（1）沿Ox作初速为100m/s的匀速直线运动；

（2）沿Oy反方向作自由落体运动. 500 v=100m/s A O x 解：建立如图所示坐标系，物资出舱后开始计时，设时间为t，水平位移1为x，

竖直位移为gt2，垂直高度为y，所以2

x100t,12y500gt.2令y0,得t10.10s.代入x100t,得x1010m.

所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，可以使其准确落在指定位置.思考2：答案我们算出来了，但曲线方程我们找到了吗？

1

引例2：还记得x,y满足

+

=1,求z=x+y的最大值吗？

解：设x=2sin, y=3cos 则z= 2sin+3cos =

思考两者共同特征：

x100t,

12

y500gt.2引入参数方程的概念：

x2siny3cos一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函xf(t)xf(t)yg(t)yg(t)所确定的点P(x,y)都在曲线C上，数：反过来，对于t的每个允许值，由函数式：xf(t)yg(t) 叫做曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。

那么方程相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

概念辨析：请判断下列哪些是参数方程？

21. 2. x3t1

yt（t为参数）x3t21（t为参数）y13. yx22xt1(t为参数）三、典例剖析，总结规律

1.参数方程的理解：

x3t,(t为参数)2y2t1.Eg1:

已知曲线C的参数方程是 

（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系；

（2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。

解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所以M1在曲线上．

53t242t1

无解 M2不在曲线上

把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到63ta2t21(2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以解得t=2, a=9 所以，a=9 2、参数方程与普通方程互化：

2

思考3：请判断下列参数方程所表示的曲线类型

(1)

是参数）

(2)

是参数）

将曲线参数方程化为普通方程有助于识别曲线类型

Eg2：把下列参数方程化为普通方程，并说明曲线类型

y3t1

x3t11. 2.

（t为参数）（t为参数）yt

xt

x3t213. 4.

xsincos（t为参数）（为参数）y1sin2

y1解1：x-3y-1=0 一条直线

解2：y=3

+1

抛物线一部分

解3：y=1 (x1) 一条射线

解4：

(x

，

抛物线一部分

规律总结：

（1）解方程思想：消元

（2）利用三角恒等式：如

+

（3）利用三角恒等式：如

+

注意：消参过程一定防止x或y范围的扩大或缩小，即保持等价性！

3、圆的参数方程：

思考4：圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动怎样刻画运动中点M的位置呢？

xrcos(为参数)yrsin

以(0,0)为圆心，r为半径的圆的参数方程

思考5：θ的几何意义是什么？

OM绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM转过的角度

思考6：

还是该圆的参数方程吗？其中

还有上述的几何意义吗？

关于参数几点总结： 参数是联系变数 x, y 的桥梁, 1.参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显意义；

3

2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样; 3.在实际问题中要确定参数的取值范围;

思考7：

是参数

表示什么曲线？

表示以（a,b）为圆心，r为半径的圆

x1cos（为参数）y3sinEg3：（1）已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。

（2）如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程

x3cos（为参数）ysin  22(x1)(y2)4求Zx+y的最大值和最小值

Eg4:已知x、y满足解：由已知圆的参数方程为x12cos,(为参数)y22sin.所以Zx+y(12cos)(22sin)12(cossin)122sin(4)

Zmax-122,Zmin-122

x2cosysinEx: P(x, y)是曲线

你做对了吗

(α为参数)上任意一点,求 的最大值？

4

规律总结：圆的普通方程和参数方程根据问题进行灵活转化

四、课堂小结

xf(t),1.参数方程的概念：yg(t).

2.参数方程与普通方程的互化：等价性

3．参数方程与普通方程的异同

4. 圆的参数方程及其简单应用

五、作业布置

作业布置：书面作业：P26 第3、4、5题

预习作业：椭圆，直线的参数方程并完成导学案

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