1.2.1 平面上点的极坐标系名师教学设计1

石家庄市第十七中学教学设计

授课教师

课

题

教材分析

王长云

极坐标

授课年级

高二

第

1 课时

学科

课型

数学

新授

本节教材是人民教育出版社出版的高中数学课程选修4—4，坐标系与参数方程中第一讲第二节的内容，它是继学生学习了在直角坐标系中研究平面内点的坐标，使曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合，在此基础上由于现实问题的复杂性，有时在直角坐标系下建立几何图形的方程并不方便，为便于用代数方法研究几何图形，需要建立不同的坐标系，进而引入极坐标系等不同的坐标系，为进一步学习曲线方程、

解析几何打下基础．

通过前面对平面直角坐标系的学习，学生已经对坐标系有了一定的了解；极坐标系的

思想已经普遍存在于日常生活中，对于极坐标系的学习应该很容易接受．

理解极坐标系的有关概念；掌握极坐标平面内点的极坐标的表示；掌握极坐标和直角坐标的互化关系式。

通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法；通过探究活动培养学生观察、分析、比较和归纳能力。

通过生活中的具体事例引入极坐标系使学生认识极坐标的作用及应用极坐标来描述实际问题的方便性及实用性，体验数学的实际应用价值．通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦．

认识极坐标系的重要性，能利用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。

理解用极坐标刻画点的位置的基本思想，认识点与极坐标之间的对应关系。

学情分析

教学目标

知识与能力

过程与方法

情感态度与价值观

教学重难点

重点

难点

教学方法

启发、诱导发现教学、问题探究法、讲解示范法

教

学

过

程

教学环节

课

堂

引

入

教师活动

提及坐标系，同学们自然联想到了平面直角坐标系。两个垂直的数轴，规定了单位长度，那么，平面当中的每一个点都有一个数对与之对应，而每一个数对在平面之中也能找到与之唯一对应的点。其实，平面直角坐标系给了我们一个观察世界的崭新视角。什么视角呢？有些游戏玩家可能有体会，叫做上帝的视角。它指的是从上向下俯瞰这个世界，每一个物体都有它对应的位置，可以用点坐标来刻画，而连续的点形成的图形又可以用方程来表示。当然我们观察世界的视角不止一个，而且有些时候直角坐标系也有一定的局限性。我们一起走进下面的例子。

阿基米德螺线指的是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定角速度绕该固定点转动而产生的轨迹。用直角坐标系刻画点的位置很困难。

如果有人在门口问路：“同学，金圆大厦怎学生活动

感受体会

答：量角器和绳设计意图

设计意图：通过学生实际感受和熟悉的生活实例，激发学生兴趣，调动其学习的积极性。引导学生类比，为极坐标系的建立做好铺垫．

设计意图：从多角度阐述引入极坐标的必

么走？”你回答：（300,0）的位置。那人肯定想：神经病吧！

引入射击视频，提问：狙击手是如何确定方位的？

追问：你能举出生活中用方位和距离来描述位置的例子吗？（航空、航海、地震台风预报、篮球赛中队友之间传球）

这些位置的刻画有什么共同特征？怎样建立用距离和角度确定平面上点的位置的坐标系？

子。

进一步补充方向和距离。

学生举例教师补充

学生回答出中心点、长度、角度这些关键点

要性，增强学生的求知欲

设计意图：结合学生熟知的方位角、距离知识，引入极坐标思想，使学生感到极坐标引入是必要的、有用的，体会知识的衍生过程

设计意图：在学生已经确立了建立极坐标要素的基础上，类比直角坐标系的建立方法，在教师的引导下，得到极坐标系的建立，培养学生自主探究的意识，以及体会极坐标建立的合理性．

进一步体会极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向．

设计意图：初步掌握极坐标系的有关概念，能够由点得到极坐标，由极坐标得点，引出点的极坐标不唯一性．

设计意图：通过问题的方式，帮助学生理清思路，突破本节课的难点.培养学生类比、合作探究的学习意识．通过学生思考点与极坐标的对应关系，体会数学的严谨性，对细节的把握能帮助我们更深入的理解知识，培养学生在数学学习过程中一丝不苟的态度。

课

堂

讲

解

在平面内取一个定点O，叫做极点;（板书）

自极点O引一条射线Ox，叫做极轴; （板书）

再选定一个长度单位，一个角度单位(通常用弧

度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立

了一个极坐标系.

极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、学生独立完角度单位及其正方向．

成口述答案

极坐标系内一点的极坐标的表示。设

M是

平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点

M的极径，记为

；

以极轴

Ox为始边，射线

OM

为终边的角

xOM叫做点

M的极角，记为

；

有序实数对

(

,

)

叫做点

M的极坐标，记为

M

(

,

) ；

一般地，不做特殊说明时，我

们认为

（板书）

极点

O的极坐标为

(0,

)

例

1、

建立合适的极坐标系，写出新百广场B、

市中医院C、金圆大厦D的极坐标。

在极坐标系里描出下列各点.你发现了什

么？

极坐标系中的点与极坐标的对应关系

思

考：极坐标系中点与它的极坐标之间是一一对应的关系吗? 结论：给定极坐标

(

,

) ，只能确小组交流给定唯一的点

M；给定一点

M ，却有无数个极出结论。

坐标与之对应。

追问：极坐标系中的点（除极点外）与有

序数对

(

,

) 要建立一一对应的关系，应

添

加什么条件？

回到阿基米德引例，给出例2

教师提炼：直角坐标系便于研究平移变换，

极坐标系便于研究旋转变换

既然我们又多了一种点的描述方法，也就多

了一种解决问题的途径。如果能实现极坐标与直角互化，无疑会使我们有更多的解决问题的方学生小组合法。小组合作探究，怎样实现？

作，分享成果。

1）需满足三个前提

①极点与直角坐标系的原点重合

②极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;

③两种坐标系的单位长度相同.

2)互化的两个关系式

例3（1）将点M的极坐标（

，直角坐标。

（2）将点M的直角坐标（-

，

）化成极坐标。

引入开篇问路问题，求出新百广场与市中医院之间的距离。

设计意图：通过例题，独立建系，巩固知识，运用知识解决问题．体会极坐标解决问题的方法，课后在极坐标系相关知识的基础上，学生探究阿基米德螺线的极坐标方程，进一步加深对极坐标系的认识．

）化成学生独立完成

学生尝试多种解体思路，投影展示结果。

课

堂

练

习

设计意图：通过例题，熟悉互化公式。

设计意图：通过贯穿课堂的例题呈现本节课的脉络，从现实的需要，数学的建构，到实际问题的解决，从知识到应用。

课

堂

小

结

学生小结：

知识上：

1极坐标系

2.会用极坐标系表示平面中的点

3.会两种坐标的转化

思想方法上：体会到数形结合的关键，会用类比归纳方法探究问题，思考多角度，多种方法解决问题。

教师小结：直角坐标系给曲线插上了方程的翅膀，而极坐标无疑使这双翅膀飞的更有力量。分享笛卡尔心形曲线的故事，阐述数学简单、真是；也浪漫而唯美。激发学生对数学的喜爱之情。

1课本P12

习题1.2---第3题

2练习册

2 作

业

设

计

板

书

设

计

标题

1极坐标系

例题

2点的极坐标

投影

3互化公式

《问题驱动方式在课例中的体现》

问题驱动教学法是一种以学生为主体、围绕课题展开的各种问题为学习起点，以问题为核心规划学习内容，让学生围绕问题寻求解决方案的一种学习方法。教师在此过程中的角色是问题的提出者、课程的设计者以及结果的评估者。新课改以后，高中数学更加提倡学生的主动学习和教师的引导学习。在这样的背景下，问题驱动的教学模式产生了很大的作用，它可以引导学生积极主动的思考学习问题，也能有效地提升学生的自主学习能力。数学课堂教学都是在提出问题、分析问题、解决问题的过程中展开的，问题是数学教学的中心。用怎样的的方式设计问题，使学生积极、主动、系统、高效；使课堂结构优化，内容充实。基于此，做了以下的思考探究。

一、兴趣激发式问题。

利用学生熟悉的情境、感兴趣的事物作为教学活动的切入点，使他们快速进入了思维发展的“最近区”，才能激发学生学习的积极性，学习才有可能是主动的。例如在本堂课的课

后

教学中，问题：视频中的狙击手是如何确定目标的，我们如何给指人之路？类比以上例子，反

思

举出生活中用方位与距离刻画位置的例子。以上问题都是从学生熟悉情境，感兴趣的点出发，激起学生的兴趣点，为引导学生思维奠基。

二、认知冲突式问题

如果一个问题使学生原有的认知遭到冲击，引发了学生的认知不平衡，从而让学生感到了自身已有知识的局限性，就会产生主动探究新知识，达到更高的认知平衡。比如开篇的阿基米德螺线，它广泛存在在生活自然中，但我们很难用平面直角坐标系来刻画它的位置，这样是我们了解到引入极坐标系的必要性。

三、自主探究式问题

数学家G.波利亚指出：“数学有两个侧面，一方面它是严谨科学，但另一方面，他是创造过程中的数学，是一门实验性的归纳科学。”课堂中有些问题的设置必须是开放性的，学生要通过自己观察、自己分析、自己总结。通过自己已有知识的迁移、提升，得到新的想法、结论。如极坐标系的建立，如何建系能实现用距离和方位刻画点的位置？学生容易找到

极点与坐标轴，但是忽略刻度及角度的规定，在自主探究尝试过程中，发现必须加入角度的度量才可，这样自主的探究过程使学生对新知识的理解更到位，把握的更加全面。探究过程对学生而言不是知识的灌输，而是自然的生成，同时使概念的形成、结论的获得得到有效的验证。为之后的新知应用打好基础。

四、类比归纳式问题

法国数学家拉普斯指出：“在数学里，发现整理的主要工具是类比和归纳。”类比是在两类不同事物之间进行对比找到若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式。归纳是对某类事物中的各种特殊情形中蕴含的同一性和相似性。数学学科具有很强的外扩性，新知识的产生很多是基于这种知识的外扩延展。利用知识设计类比归纳式问题，引导学生开展类比归纳的思维活动，以达到培养和发展学生创造性思维的目的。如类比平面直角坐标系下点与坐标的对应情形，归纳出极坐标系中点与坐标的对应情况。并补充新条件使之实现一一对应。这样类比生成的知识，学生便于理解掌握，易于记忆应用，易于形成知识脉络体系。

五、思维互逆式问题

学生的思维发展是遵循相互制约、相互促进、相互联系的规律。逆向思维就是突破思维惯性的束缚，做出与习惯思维相反的探究。逆向思维不仅可以加深对原有知识的理解，还可以发现一些新的认知。逆向思维的问题可以开阔学生的思路，就会使学生从不同的方向去认识、理解新知，从不同的方向去分析应用新知。数学中有许多逆向思维的素材，比如逆定理、逆运算等等。而本节课无论是建构极坐标与直角坐标的互化过程，还是例一给出点写极坐标，给出极坐标找点，还是例三从极坐标化成直角坐标，从直角坐标化极坐标。互逆型问题为培养学生的逆向思维能力提供了条件。

六、合作实践式问题。

课堂教学中合作实践的应用有助于调动学生的积极性，使所有学生积极参与到课堂活动中，进而调动课堂氛围，加强师生互动交流，从而促进课堂教学效率的提高。同时有助于培养学生的数学思维，促进学生创新能力、探究能力、自主学习能力的提高，并且也有助于学生数学问题意识以及数学素养的培养，进而促进学生综合能力的培养和提高。就本课的坐标互化公式推导，及多种方法求距离问题。开展合作实践问题研究有助于转变教学策略，促进教学模式多样性，进而促进教学成果的高效推进。因此，教师一定要加合作探究问题的设计，并采取有效的方法加强其有效性，进而促进高效课堂生成。

问题驱动教学方法对教师的要求较高，教师必须具备较强的课堂掌控能力和引导能力。而不同的驱动方式，也会给课堂呈现不同效果。对驱动方式的探求，无疑为高效课堂的打造

寻求了有利保障。