2.3.1 椭圆的参数方程教学设计第二课时

2.2

椭圆的参数方程（教案）

龙台中学 林建伟 一．

目的要求：

1．了解椭圆参数方程，了解系数a、b、含义。

2．进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。

3．培养理解能力、知识应用能力。

二．

教学目标：

1．知识目标：学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程，理解它与普通方程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。

2．能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参数方程解决相关问题。

3．德育目标：通过对椭圆多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。

三．

重点难点：

1．重点：由方程研究曲线的方法；椭圆参数方程及其应用。

2．难点：椭圆参数方程的推导及应用。

四．

教学方法：

引导启发，计算机辅助，讲练结合。

五．教学过程：

（一）引言（意义）

人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规律。

本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识。

（二）预备知识（复习相关）

1．求曲线方程常用哪几种方法？

答：直接法，待定系数法，转换法〈代入法〉，参数法。

2．举例：含参数的方程与参数方程

x2t例如：y=kx+1（k参数）含参方程，而（t参数）是参数方程。

y4t1

1

3．直线及圆的参数方程？各系数意义？

（三）推导椭圆参数方程

1．提出问题（教科书例5）

例题．如图，以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆。点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANOx，垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M。求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程。

2．

分析问题

本题是由给定条件求轨迹的问题，但动点较多，不易把握。故采用间接法——参数法。

引导学生阅读题目，回答问题：

（1）动点M是怎样产生的？

M与A、B的坐标有何联系？

（2）如何设出恰当参数？

设∠AOX=为参数较恰当。

3．解决问题（板演）

解：设点M的坐标(x,y)，是以Ox为始边，OA为终边的正角，

取为参数，那么

x=ON=|OA|cos，

y=NM=|OB|sin

即

xacos

①

引为点M的轨迹参数方程，为参数。

ybsin4．更进一步（板演：化普通方程）

xacos分别将方程组①的两个方程变形，得

两式平方后相加，

ysinbx2y2消去参数得方程221

ab由此可知，点M的轨迹是椭圆，方程①是椭圆的参数方程。为参数，为离心角，常数a、b分别是椭圆长半轴和短半轴长。

5．

加深理解

2

xacos（1）

椭圆参数方程（为参数），参数有明显几何意义。ybsin离心角与∠MOX一般不同。参数方程提供了设点的方法。

（2）

椭圆参数方程与普通方程可互相转化。“设参←→消参”。

x2y2（3）

椭圆的参数方程也可由221（a>b>0）三角换元直接得出，abxycos，sin。双曲线也有类似换元。

ab（4）

可仿P95例3，将圆压缩或拉伸的办法求到椭圆参数方程

即令（四）参数方程的应用（例题分析）

x3cosy22例1．

参数方程普通方程互化（1）

（2）x21

y5sin16x8costx2y21

例2. 练习：参数方程普通方程互化

（1）

（2）69y10sint例3．在椭圆x28y28上求点P，使P到L：x-y+4=0的距离最小。

分析1：（目标函数法）设P(x,y)为椭圆上任一点，由x28y28得

x88y，则P到L的距离

d2|88y2y4|2

再想办法求最值，但太繁不可取。

分析2：（几何法）把直线L平移到L1与椭圆相切，

此时切点P为所求的点。即设L1：x-y+m=0,

xym0由2，

2x8y8整理得9y2-2my+m2-8=0. 由△=4m2-4·9(m2-8)=0得m=±3. 如图可知m=3时最小. 可计算平行线间的距离，

y

L

x L1 3

d|43|222，此时P（-83,13）

分析3：（参数法）设P（22cos,sin），则有

d|22cossin4||3sin()4|22，其中tan22

当22时，d有最小值2，

则cossin223，sincos13

即P（-83,13）

方法小结：（1）本题运用参数方程比普通方程简单

（2）当直接设点的坐标不易求解时，可尝试建立参数方程例4．P(x,y)为椭圆x24y21上任一点，求2x+y的最大值。

例5．设椭圆x4cosy23sin(是参数)上一点P，使OP与x轴正向所成

角∠POX=3，求P点坐标。

分析：本题容易产生错误：认为=3，代入椭圆参数方程

x=2,y=3，从而P（2，3）。

事实上，若注意P对应参数与∠POX关系，可避免此误。

解：设P（4cos，23sin），由P与x轴正向所成的角为3，

tan323sin4cos，即tan=2.

而sin>0,cos>0, cos=55, sin=255

P点坐标为（455，4155）。

：

1．坐标法推导出椭圆的参数方程，学习了a、b、的几何意义

4

（四）教学小结

2．通过学习，完善了对椭圆的认识。椭圆的两个定义及两种方程都是等价的。

3．参数方程在解决轨迹问题与极值问题时是有效的。

4．通过学习增强运用参数解题的意识。

（五）补充练习

1．点P在椭圆7x2+4y2=28上，则点P到直线3x-3y-16=0的距离的最大值为（

）

A．1213161324132813

B.

C.

D.

13131313x2y21上任意一点，F1、F2是两个焦点，且满足PF1PF2

2．P是椭圆2的点P有（

）

A．1个

B.2个

C.3个

D.4个

x2y21相切，则k,a之间关系式为（

）

3．已知直线y=kx-1与椭圆4aA．a+4k2=-1

B. 4k2-a=1

C.a-4k2=1

D.a+4k2=1 x2y21上点最大距离是________

4．点P（0，1）到椭圆25．设a为大于0的常数，椭圆x2-2ax+a2y2=0的长轴长是短轴长的2倍，则a的值为

11

A．

B. 2

C. 2或

D. 2 22x2y21上移动，

6．已知点P在圆x+(y-4)=1上移动，点Q在椭圆422求|PQ|的最大值

x2y21上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值。

7．求椭圆3（参考答案：1.C

2.B

3.D

4. 2

5.C

6. 4

|2sin()6|3提示7．设点（3cos,sin），则d

2

5 

当sin(3)= -1时，d最小值=22）

6