2. 匀速圆周运动的向心力和向心加速度特级教师教学实录

5.5.向心加速度教学设计

赵志勋

学习目标：

1.理解速度变化量和向心加速度的概念。

2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。

3.能够运用向心加速度公式求解有关问题。

重点难点：

重点:1.向心加速度的概念。

2.向心加速度的大小和方向。

难点:1.向心加速度方向的确定。

2.向心加速度公式的推导与应用。

引入：中华人民共和国第十一届全国运动会花样滑冰双人滑比赛在青岛“钻石”体育馆结束,黑龙江的张丹/张昊、庞清/佟健和四川的董慧博/仵一鸣分获前三名。在决赛中三对选手的表现都几乎完美,令所有在场的观众都沸腾了起来,热烈的掌声和欢呼声经久不衰,把比赛一次次地推向了高潮!如图所示,张丹如此优美的旋转动作,我们可以认为她在做匀速圆周运动,虽然速度的大小不变,但方向却时刻在变化,如何描述她的速度变化呢?

简答:匀速圆周运动的特点是速度的大小不变,方向时刻变化,可以用向心加速度描述速度的变化。

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预习案：一、对圆周运动中加速度的认识1.实例分析(1)地球绕太阳做近似的匀速圆周运动,地球受太阳的力是万有引力,方向由地球中心指向太阳中心。(2)光滑桌面上一个小球由于细线的牵引,绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。小球受到的力有重力、桌面的支持力、细线的拉力。其中重力和支持力在竖直方向上平衡,合外力总是指向圆心。2.结论猜测一切做匀速圆周运动的物体的合外力和加速度方向均指向圆心。

预习交流1

任何做圆周运动的加速度都指向圆心吗? 提示:做匀速圆周运动物体的加速度方向一定指向圆心,但一般的变速圆周运动的加速度方向不指向圆心。

二、向心加速度

1.定义

做匀速圆周运动的物体有指向圆心的加速度。

2.大小

(1)__an=

(2)an=ω2r。

3.方向

沿半径方向指向圆心,与线速度方向垂直。

预习交流2: 如图所示,小球在拉力作用下做匀速圆周运动,请思考:

若手握绳子的位置不变,增加小球的转速,则它的向心加速度大小如何变化?

提示:根据an=ω2r知,当半径不变,角速度变大时,加速大。

探究案：

探究一：向心加速度的方向及意义

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1.物理意义

描述线速度改变的快慢,只表示线速度方向变化的快慢,不表示其大小变化的快慢。

2.方向

做匀速圆周运动的物体,其速度的大小(速率)不变,方向不断改变,所以加速度a没有与v同方向的分量,它必然沿半径方向指向圆心,故称之为向心加速度。

3.圆周运动的性质

不论向心加速度an的大小是否变化,an的方向是时刻改变的,所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变,圆周运动一定是非匀变速曲线运动。“匀速圆周运动中”的“匀速”应理解为“匀速率”。

4.变速圆周运动的向心加速度

做变速圆周运动的物体的加速度有两个分量:一是向心加速度,二是切向加速度。向心加速度表示速度方向变化的快慢,切向加速度表示速度大小变化的快慢。

典题：

【例1】

(多选)关于向心加速度,以下说法正确的是(

) A.向心加速度的方向始终与速度方向垂直

B.向心加速度的方向保持不变

C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心

D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心

解析:向心加速度的方向沿半径指向圆心,速度方向沿圆周的切线方向。所以,向心加速度的方向始终与速度方向垂直,且方向在不断改变。物体做匀速圆周运动时,只具有向心加速度,加速度方向始终指向圆心。一般情况下,圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向并不始终指向圆心。正确选项为A、D。

当堂检测一：

物体做匀速圆周运动过程中,其向心加速度

(

) A.大小、方向均保持不变

B.大小、方向均时刻改变

C.大小时刻改变、方向保持不变

D.大小保持不变、方向时刻改变

探究二：向心加速度的表达式及应用

1.向心加速度公式

(1)基本式:①an=;②an=ω2r。

(2)拓展式:①an=r;②an=ωv。

2.向心加速度的大小与半径的关系

(1)当半径一定时,向心加速度的大小与角速度的二次方成正比,也与线速度的二次方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。

(2)当角速度一定时,向心加速度与运动半径成正比。

(3)当线速度一定时,向心加速度与运动半径成反比。

(4)an与r的关系图象:如图所示。由an-r图象可以看出:an与r成正比还是反比,要看ω恒定还是v恒定。

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思考：

1.一质点做匀速圆周运动,其半径为

2 m,周期为3.14 s,如图所示,求质点从A点转过90°到达B点的速度变化量。

2.设做匀速圆周运动的物体的线速度大小为v,轨迹半径为r。经过一微小时间Δt,物体从A点运动到B点。尝试用v、r写出向心加速度的表达式。

3.试利用an=ω2r以及前面学过的匀速圆周运动的公式推导向心加速度的另外几种表达式an=

典题2:

r,an=4π2f2r,an=ωv。

(多选)如图所示,皮带传动装置中,右边两轮连在一起共轴转动,图中三轮半径分别为r1=3r,r2=2r,r3=4r;A、B、C三点为三个轮边缘上的点,皮带不打滑。向心加速度分别为a1、a2、a3,则下列比例关系正确的是(

) A.

B.

C.

D.

解析:由于皮带不打滑,v1=v2,a=,故,A错,B对。

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由于右边两轮共轴转动,ω2=ω3,a=rω2,

当堂检测2：

,C错,D对。

如图所示,一大轮通过皮带带动小轮转动,皮带和两轮之间无滑动。大轮的半径是小轮的2倍,大轮上的一点S与转动轴的距离是半径的。当大轮边缘上P点的向心加速度是12 m/s2时,大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多大?

方法归纳：传动装置中向心加速度的计算问题

讨论圆周运动的向心加速度与线速度、角速度、半径的关系,可以分为两类问题: (1)皮带传动问题,两轮边缘线速度相等,常选择公式an=(2)同轴转动问题,各点角速度相等,常选择公式an=ω2r。

。

能力提升：

向心加速度公式的应用技巧

向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系,必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系。在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时,应按以下步骤进行: (1)先确定各点是线速度大小相等,还是角速度相同。

(2)在线速度大小相等时,向心加速度与半径成反比;在角速度相同时,向心加速度与半径成正比。

典例3：

如图所示,B和C是一组塔轮,即B和C的半径不同,但固定在同一转动轴上,其半径之比为RB∶RC=3∶2。A轮的半径大小与C轮相同,它与B轮紧靠在一起,当A轮绕过其中心的竖直轴转动时,由于摩擦作用,B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘的三个点,则a、b、c三点在运动过程中的(

) A.线速度大小之比为3∶2∶2 B.角速度大小之比为3∶3∶2 C.转速大小之比为2∶3∶2

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D.向心加速度大小之比为9∶6∶4 解析:加速度是描述速度变化快慢的物理量,向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量,因此选项A错误,选项B正确。只有匀速圆周运动的向心加速度大小恒定,选项C错误。公式a=只适用于匀变速直线运动,圆周运动是变加速运动,选项D错误。

当堂检测3：

关于向心加速度,下列说法正确的是(

) A.向心加速度是描述线速度变化的物理量

B.向心加速度只改变线速度的方向,不改变线速度的大小

C.向心加速度大小恒定,方向时刻改变

D.向心加速度的大小也可用a=

来计算

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